Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

Son las que incluyen derivadas y expresan índices de cambio de funciones continuas con el tiempo. El objetivo al trabajar con ecuaciones diferenciales es encontrar una función diferencial que satisfaga la ecuación diferencial. Esta función recibe el nombre de solución integral de la ecuación.

Los sistemas de ecuaciones diferenciales surgen por la necesidad de resolver distintos fenómenos descritos por dos o más ecuaciones y que deben satisfacerse simultáneamente.

Las ecuaciones diferenciales tienen una amplia aplicación en la Economía. Se utilizan para determinar las condiciones de estabilidad dinámica en modelos microeconómicos de equilibrios de mercado y para trazar la trayectoria de tiempo de crecimiento, en diversas condiciones macroeconómicas. Dado el índice de crecimiento de una función, las ecuaciones diferenciales permiten encontrar la función cuyo crecimiento se describe; a partir de la elasticidad de un punto, permiten estimar la función de la demanda .

48. Se busca la función de demanda que tenga elasticidad-precio constante

Solución:

49. Identifique y solucione las siguientes ecuaciones diferenciales

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Solución:

a) Exacta; el factor integrante es .

La solución resulta ser

Con la condición inicial

b) Variable separable;

c) Lineal en t como función de y;

d) Variable separable;

e) Exacta;

f) Lineal

g) Homogenea;

h) Lineal;

i)Lineal;

j) Homogénea

50. En que casos es una ED exacta y cual es su

solución?

Solución:

Cuando b=c. La solución es entonces

51. Sea C el costo total asociado a un nivel Q de producción; Suponga que el costo marginal es igual al costo promedio. Que se puede decir sobre la función costos?

Solución:

Los costos son directamente proporcionales a la cantidad Q.

52. Suponga que la población en el instante t es P(t). La diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad, llamada tasa de reproducción, sea r,(P,t). Si no hay migración ni emigración entonces el aumento de población por unidad de tiempo resulta ser

La tasa de crecimiento instantáneo viene dada por lo tanto por

(i) Suponga que r(P,t)=K const. Resuelva la ED y calcule en cuanto tiempo que se dobla la población.

(ii) Suponga que r(P,t)=a-bP. Resuelva ahora la ecuación diferencial y calcule

Solución:

(i)

(ii)

...