Ecuaciones Diferenciales

TRABAJO COLABORATIVO 1

KEILA ANTELIZ CONTRERAS

C.C 1090395915

TUTOR:

RICARDO GOMEZ

GRUPO:

100412_18

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

COLOMBIA

2012

ACTIVIDAD No. 1

El trabajo colaborativo 1 está compuesto con los siguientes problemas donde los participantes del grupo realizaran, para luego entregarlo:

1. Defina de las siguientes ecuaciones diferenciales el orden y linealidad.

A. xy’’’ – 2(y’)4 + y = 0

Rta: Tercer orden y es lineal

B. y’’ + 9y = sen x

Rta: Segundo orden y es lineal

C. (1-y2)dx + x dy = 0

Rta: Primer orden y es lineal

2. Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, verifique que la función o funciones indicadas son soluciones.

A. y´=25+y^2, y=5tan5x

y=5tan5x

y´=25〖sec〗^2 5x

y´=25+y^2

25〖sec〗^2 5x=25+(〖5tan5x)〗^2

25〖sec〗^2 5x=25+25〖tan〗^2 5x

25〖sec〗^2 5x=25+25(〖sec〗^2 5x-1)

25〖sec〗^2 5x=25+25〖sec〗^2 5x-25

25〖sec〗^2 5x=25〖sec〗^2 5x

La función y=5tan5x si es la solución de y´=25+y^2

B. y´-2y=e^3x ; y=e^3x+〖10e〗^2x

y=e^3x+〖10e〗^2x

y`=〖3e〗^3x+〖20e〗^2x

y´-2y=e^3x

〖3e〗^3x+〖20e〗^2x-[(2)(e^3x+〖10e〗^2x)]=e^3x

〖3e〗^3x+〖20e〗^2x-2e^3x-〖20e〗^2x=e^3x

e^3x=e^3x

La función y=e^3x+〖10e〗^2x si es la solución de y´-2y=e^3x

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables:

A. e^x y´=2x

e^x dy/dx=2x

dy/dx=2x/e^x

dy=2x. e^(-x).dx

∫▒dy=2.∫▒x.e^(-x).dx

μ=-x

x=-μ

dμ=-dx

dx=-dμ

∫▒DY=2.∫▒〖(-Μ)〗.E^U.(-DΜ)

y=2.∫▒μ.e^u.dμ

y=2.[e^μ (μ-1)]+C

y=2.e^(-x) [(-x)-1)]+C

y=2.e^(-x) (x-1)+C

B. y´=e^(3x+2y)

dy/dx=e^3x e^2y

dy/e^2y =e^3x dx

e^(-2y).dy=e^3x dx

Haciendo: µ= - 2y

Entonces: dµ = - 2.dy

De donde: dy: dµ / -2

Y haciendo: Z= 3x

Entonces: dz: 3.dx

De donde: dx= dz /3

Así;

e^(-2y).dy=e^3x.dx

Se convierte en:

e^μ.(dμ/(-2))= e^z.(dz/3)

Integrando,

-1/2.∫▒e^μ dμ=1/3.∫▒〖e^z.〗 dz

-1/2.e^μ=1/3+e^z+C

-1/2.e^(-2y)=1/3+e^3x+C

-C=1/3+e^3x+1/2.e^(-2y)

Multiplicando por 6,

-6C=2e^3x+3e^(-2y)

Haciendo: -6c=K

K=2e^3x+3e^(-2y)

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

A. [x+2/y]dy+ydx=0

ydx+[x+2/y]dy+=0

∂F/∂y=∂G/∂x

F(x,y)=y

G(x,y)=x+2/y

∂F/∂y=∂y/∂y

∂F/∂y=1

∂G/∂x= ∂(x+2/y)/∂x

∂G/∂x= (∂(x))/∂x+ ∂(2/y)/∂x

∂G/∂x= 1+ 0

∂G/∂x= 1

SON EXACTAS

[x+2/y]dy+ydx= 0

f(x,y)=∫_xo^x▒〖F(x,y)dx+∫_yo^y▒〖G(xoy)dy=0〗〗

f(x,y)=∫_xo^x▒〖ydx+∫_yo^y▒〖[x+2/y]dy=0〗〗

f(x,y)=ydx+ ∫_yo^y▒〖xdy +∫_yo^y▒(2/y)dy〗

f(x,y)=yx+ 2∫_yo^y▒dy/y=0

f(x,y)=yx+ 2 ln⁡〖y+C〗=0

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