Ecuaciones Diferenciales
Enviado por sharom • 24 de Agosto de 2012 • 5.384 Palabras (22 Páginas) • 897 Visitas
Estas notas pretenden mostrar una breve
historia de las ecuaciones diferenciales. Se ha
pretendido dar m´s ´nfasis a las ideas que aa e
las biograf´ de los matem´ticos creadores deıasa
la teor´ En la siguiente direcci´nıa.o
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk
se halla una colecci´n de biograf´ de losoıas
matem´ticos m´s famosos.aa
La mayor parte de estas notas hist´ricaso
est´ sacadas de [1].a
6
ds
dx
dy
-
Figura 1: El tri´ngulo caracter´aıstico.
En 1690, Jacques Bernouilli plante´ el pro-o
blema de encontrar la curva que adopta una
cuerda flexible, inextensible y colgada de dos
puntos fijos, que Leibniz llam´ catenaria (delo
lat´ cadena). Galileo pens´ que esta cur-ıno
va era una par´bola, mientras que Huygensa
prob´ que esto no era correcto.o
6
c
c
1. Ecuaciones diferenciales de 1er orden
Los primeros intentos para resolver proble-
mas f´ısicos mediante el c´lculo diferencial aa
finales del siglo XVII llevaron gradualmente
a crear una nueva rama de las matem´ticas,a
a saber, las ecuaciones diferenciales. A media-
dos del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales
se convirtieron en una rama independiente y
su resoluci´n un fin en s´ mismo.oı
Ya Newton (los creadores del c´lculo in-a
finitesimal fueron Leibniz y Newton) ob-
serv´ que si dn y/dxn = 0, entonces y(x) eso
un polinomio de grado n − 1, en particular, y
depende de n constantes arbitrarias, aunque
esta afirmaci´n tuvo que esperar hasta el sigloo
XIX para poder ser demostrada con rigor (la
demostraci´n est´ndar actual usa el teoremaoa
del valor medio). Los matem´ticos de la ´pocaae
con frecuencia usaban argumentos f´ısicos: si
y(t) denota la posici´n en el tiempo t de unao
part´ıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Si
dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es
decir, la part´ıcula no se mueve y su posici´n,o
por tanto, permanece constante.
En 1693 Huygens habla expl´ıcitamente de
ecuaciones diferenciales y en el mismo a˜o,n
Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales
son funciones de elementos del tri´ngulo ca-a
racter´ıstico.
1
a
b
-
Figura 2: Una catenaria.
En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouil-
li publicaron soluciones independientes. La de
Jean Bernouilli es la que se encuentra habi-
tualmente en los textos de mec´nica:a
Consideremos un cable homog´neo sujetoe
por sus dos extremos (que suponemos a la
misma altura) y que distan 2a uno del otro
y sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la
funci´n que describe la posici´n del cable. Poroo
conveniencia se asumir´ que la altura m´aınima
del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,
y (0) = 0).
s
6
a
s
A partir de ahora, denotaremos c = gρ/ T0 .
Como (v´ase la figura 1)e
dy/dx = tan θ,
(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 ,
T0 _
c_c _
_
__θ
y
3__ T
_
si derivamos (respecto a x) la ecuaci´n (1), seo
obtiene
-
x
d2 y
=c
dx2
(dx)2 + (dy)2
.
dx
O escrito de otro modo,
Figura 3: Deducci´n de la ecuaci´n de la cate-oo
naria.
d2 y
=c 1+
dx2
dy
dx
2
.
Sea (x, y) un punto arbitrario del cable (por
Por supuesto, esto es una ecuaci´n de segundoo
conveniencia lo situamos en el tramo positivo
orden; pero haciendo el cambio v = dy/dx, se
de las x; en otro caso, el razonamiento es com-
convierte en
pletamente igual) y pensemos en las fuerzas
dv
que act´an en el trozo de cable desde el pun-u
= c 1 + v2.(2)
dxto de altura m´ınima hasta (x, y):
Problema 1: Resuelva la ecuaci´n (2). Useo
El peso P. Si m es la masa y s es la lon- ahora y (0) = 0 para deducir que la ecuaci´n deo
gitud del trozo considerado del cable, se la catenaria es
tiene m = ρs y por tanto, P = (0, −gρs),
1
donde g es la aceleraci´n terrestre.oy(x) = cosh(cx) + B,(3)
c
La fuerza T0 que ejerce la parte izquierda donde B es una constante arbitraria. ¿Qu´ sig-e
del cable sobre el punto de altura m´ıni- nificado f´ısico o geom´trico posee B?e
ma. Se tiene T0 = (− T0 , 0)
El siguiente problema propone otra manera
La fuerza T que ejerce la parte derecha de resolver la ecuaci´n (2) usando la teor´oıa
del cable sobre el extremo derecho (x, y) de las ecuaciones diferenciales lineales de or-
del trozo de cable considerado. Obser- den 2:
vando la figura 3 se tiene que T =
T (cos θ, sen θ).
Problema 2: Eleve al cuadrado (2) y derive
esta nueva ecuaci´n respecto a x para obtenero
La condici´n de equilibrio es P + T0 + T = 0. d2 v/dx2 = c2 x. Halle ahora v = v(x) y obtengao
O componente a componente:
de nuevo (3).
T0 = T cos θ,
gρs = T sen θ.
La catenaria cumple otra importante
propiedad: de entre todas las curvas de longi-
tud dada, la que minimiza la energ´ potencialıa
es precisamente la catenaria. Si y : [−a, a] →
(1) IR es la funci´n que describe la forma de lao
2
Dividiendo ambas expresiones.
tan θ =
gρs
.
T0
catenaria (v´ase la figura 3), ρ es la
...