Ecuaciones Diferenciales
Enviado por edel1703 • 27 de Abril de 2013 • 17.500 Palabras (70 Páginas) • 311 Visitas
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3. Ecuaciones diferenciales de orden superior
(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009) 2
Ecuaciones lineales: teoría básica
Un problema de valor inicial de n-ésimo
orden consiste en resolver la EDO lineal:
sujeta a las n condiciones iniciales:
Resolverlo consiste en encontrar una función
y(x) en definida en un intervalo I que contiene a
x 0 , donde se cumplen la ecuación y las
condiciones iniciales.
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1
1
1 x g y x a
dx
dy
x a
dx
d
x a
dx
y d
x a
n
n
n n
n
n
= + + + +
−
−
− "
1 0
)1 (
1 0 0 0 ) ( , , ) ( , ) ( −
− = = ′ =
n
n y x y y x y y x y "3
Existencia de una solución única
(Condición suficiente)
Sea a n (x), a n-1 (x), …, a 0 (x), y g(x) continuas en I,
con a n (x) ≠
0 para todo x de I. Si x = x 0 es
cualquier punto de este intervalo, entonces existe
una solución y(x) del problema anterior en I y es
única.
•Ejemplo:
posee la solución trivial y(x) = 0. Como es una ED de tercer
orden lineal con coeficientes constantes, y(x) = 0 es la única
solución en cualquier intervalo que contenga a x = 1.
0 )1( ,0 )1( , 0 )1( ,0 7 5 3 = ′′ = ′ = = + ′ + ′′ + ′′′ y y y y y y y4
• Ejemplo: Comprueba que y = 3e 2x + e –2x – 3x es la
única solución de
La ED es lineal, los coeficientes y g(x) son todos
funciones continuas, y a 2 (x) = 1 es distinto de 0 en
cualquier intervalo que contenga x = 0. La solución
propuesta cumple la EDO y es única en I.
1 )0(' ,4 )0( , 12 4 " = = = − y y x y y
Comprueba que y = cx 2 + x + 3 es solución del PVI:
en toda la recta real. Este PVI tiene infinitas soluciones. Observa que el
coeficiente de la derivada a 2 (x) = x 2 más alta se hace cero en x = 0 y ese
punto necesariamente tiene que estar incluido en I porque lo imponen las
condiciones iniciales.
1 )0( , 3 )0( ,6 2 2 2 = ′ = = + ′ − ′′ y y y y y x5
Problemas de valores en la frontera
• Resolver:
sujeta a :
se llama problema de valor
en la frontera (PVF) y a las
restricciones se conocen
como condiciones de contorno
o condiciones en la frontera.
Nota: Las condiciones de contorno
pueden ser también sobre las derivadas.
) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 2
2
2 x g y x a
dx
dy
x a
dx
y d
x a = + +
1 0 ) ( , ) ( y b y y a y = =6
Vimos que x = c 1 cos 4t + c 2 sin 4t era solución de
(a) Supongamos el PVF
Si x(0) = 0, entonces c 1 = 0, y x(t) = c 2 sen 4t.
Si x(π/2) = 0, obtenemos 0 = 0 independientemente
de c 2 . De modo que tenemos infinitas soluciones.
(b) Si
tenemos que c 1 = 0, c 2 = 0:
x(t) = 0, solución única.
0 16 " = + x x
0
2
, 0 )0( , 0 16 = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= = + ′′
π
x x x x
0
8
, 0 )0( , 0 16 = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= = + ′′
π
x x x x
(c) Si
tenemos que c 1 = 0, y 1 = 0
(contradicción). No hay solución.
1
2
, 0 )0( , 0 16 = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= = + ′′
π
x x x x7
La siguiente EDO lineal de orden n:
se dice que es no homogénea.
si g(x) = 0 la ecuación es homogénea.
Veremos que para resolver una ecuación no
homogénea tendremos que resolver también la
ecuación homogénea asociada.
0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1
1
1
= + + + +
−
−
− y x a
dx
dy
x a
dx
y d
x a
dx
y d
x a
n
n
n n
n
n "
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1
1
1 x g y x a
dx
dy
x a
dx
y d
x a
dx
y d
x a
n
n
n n
n
n
= + + + +
−
−
− "8
• Sea Dy = dy/dx. Al símbolo D se le llama operador
diferencial. Definimos a un operador diferencial de
n-ésimo orden u operador polinominal como
• El operador diferencial L es un operador lineal:
Podemos escribir las EDOs anteriores simplemente
como
L(y) = 0 y L(y) = g(x)
Operadores diferenciales
) ( ) ( ) ( ) ( 0 1
1
1 x a D x a D x a D x a L n
n
n
n
+ + + + = −
− "
)) ( ( )) ( ( )} ( ) ( { x g L x f L x g x f L β α β α + = +9
Principio de superposición
(ecuaciones homogéneas)
Sean y 1 , y 2 , …, y k soluciones de una ecuación
diferencial homogénea de n-ésimo orden en un
intervalo I. Entonces la combinación lineal
y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + …+ c k y k (x)
donde c i , i = 1, 2, …, k, son constantes arbitrarias,
también es una solución en el intervalo.
Nota:
(A) y(x) = cy 1 (x) también es solución si y 1 (x) es una solución.
(B) Una ED lineal homogénea siempre posee la solución trivial y(x) = 0.
Ejemplo: Las funciones y 1 = x 2 , y 2 = x 2 ln x son ambas
soluciones en (0, ∞) de
Luego y = x 2 + x 2 ln x también es una solución en (0, ∞).
...