Ecuaciones Diferenciales

1.10.- APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Aplicaciones a la Biología:

Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.

Crecimiento Biológico:

Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:

dy / dt = y

con solución

y = ce Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si _ > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí _ < 0.

Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de su solución correspondiente es que si _ > 0 entonces tenemos que y!” si t!” , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.

Formulación Matemática:

Supongamos que y denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces:

dy / dx = F(y) y = Yo para t=0

Donde Yo representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = _y no es apropiada, ensayemos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadrática

F(y) = y − y

, y = Yo para t = 0.

Puesto que la ecuación F(y) = _y − _y

es de variables separables, tenemos

dy / y − y

= dt ó “ dy / y ( − y) = t + c

esto es, “1/[1/y + /− y]dy = t + c

= 1/ [ln y − ln (_ − y)] = t + c

Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que:

Y = 1 + [Yo − 1] e

Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!”, vemos, ya que _ > 0, que:

Ymax = lim Y = t!”

Por simple álgebra encontramos:

Ymax = lim Y = Y1(Yo − 2YoY2 + Y 1 Y 2)

t!” Y1

− Yo Y 2?

Ejemplo:

Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento. Edad____________ Altura (pul) Nacimiento__________ 19.4 1 año ______________ 31.3 2 años______________ 34.5 3 años ______________37.2 4 años ______________40.3 5 años ______________43.9 6 años ______________48.1 7 años ______________52.5 8 años ______________56.8 solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, sea t = 0,1,2 las edades al nacimiento, 4 años y 8 años, respectivamente. Así tenemos que Yo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8. Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la altura media máxima requerida.

Problemas de Epidemiología: Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.

Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado.

Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un numero especificado de estudiantes infectados.

Formulación Matemática: Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu estudiantes no infectados. Entonces si N es él numero total de estudiantes, asumido constante, tenemos

N = Ni + Nu

La tasa de cambio en él numero de estudiantes infectados esta dada entonces por la derivada dNi / dt. Estaderivada debería depender de alguna manera de Ni y así de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.

Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función cuadrática de N, tenemos entonces que: dNi / dt = Ao + A 1 Ni? + A 2 Ni?

Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de Ni, esto es, dNi / dt sea cero

donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la ultima formulación hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N

= 0 ó A2 = −A1/N

Así que de: dNi / dt = Ao + A 1 Ni + A 2 Ni

se convierte en: dNi / dt = kNi (N − Ni). Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No estudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir que:

Ni = N _ 1 + (N/No − 1)e

Aplicaciones a la Economía: En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra mucho factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

Oferta y Demanda Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.

El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:

D = _(p(t)),p´(t)

Llamamos la función de demanda.

Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:

S = g(p(t), p´(t)

Llamamos g a la función oferta.

Principio económico de la oferta y la demanda: El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir: _(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))

Las formas que debería tener y g son las siguientes: D = _(p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3

S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3

donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión:

A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3

(A2 − B2)p´(t) + (A1 − B1)p(t) = B3 − A3

Asumamos que A1″B1, A2″B2 y A3″B3. Entonces podríamos escribir la formula como: p´(t) + (A1−B1/A2−B2)p(t) = B3−A3/A2−B2

Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado: p(t) = B3−A3/A1−B1 + [Po− (B3−A3/A1−B1)]e

Caso I: Si Po = (B3−A3)/(A1−B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.

Caso II: Si (A1−B1)/A2−B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.

Caso III: Si (A1−B1)/A2−B2)<0. en este caso vemos que de la ecuación p(t) = B3−A3/A1−B1 + [Po(B3−A3/A1−B1)]e que el precio p(t) crece indefinidamente a medida que t crece, asumiendo que Po >(B3−A3)/A1−B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 −B2)p´(t) + (A1 − B1)p(t) = B3 −A3.

Ejemplo: La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por

D = 48 − 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) +4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien

...