Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales
Enviado por verasofiajoe123 • 23 de Abril de 2018 • Trabajo • 1.414 Palabras (6 Páginas) • 190 Visitas
Universidad Autónoma de Baja California
Facultad de Ingeniería
Aguilar García Omar Armando
Contreras Ruiz Alonso Gpe.
Fok Cortez Jose Antonio
Meza Arellano Ángel Iván
Meza Herrera Eduardo Alonso
Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales
Amortiguador – Masa – Resorte
Introducción
A continuación, en nuestro desarrollo del proyecto referido a las
aplicaciones de ecuaciones diferenciales en amortiguados de masa resorte donde se desenlazarán los tipos de amortiguamientos como lo son el sobre amortiguado, críticamente amortiguado y sub amortiguado, a continuación hablaremos un poco dela historia sobre el planteamiento de las ecuaciones diferenciales en masa resorte.
Con posterioridad a la fulgurante aparición hacia 1675 de las ecuaciones diferenciales de la mano de primer Leibniz y de Newton, y a continuación de sus sucesores, la búsqueda de métodos generales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias se detuvo alrededor de 1775. Varios nuevos trabajos estaban todavía pendientes de realizarse utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias, principalmente aquellos resultantes de la solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Pero por más de cien años no volvieron a aparecer nuevos métodos tan importantes como los disponibles por entonces, hasta la introducción de los métodos operacionales y de la transformada de Laplace al final del siglo XIX. En realidad, el interés en métodos generales de solución se redujo debido a que, de una forma u otra, los métodos de resolución disponibles resultaban suficientes para las aplicaciones planteadas por entonces. Sin embargo, aún se sentía la falta de rigor, y la aparición de nuevas aplicaciones conllevó a que esta masa de técnicas dispersas se consolidara en una teoría sólida.
El sistema masa resorte está compuesto por una masa puntual, un resorte ideal una colgante y un punto de sujeción del resorte.
El resorte es un elemento común en las máquinas, tiene una longitud normal en ausencia de fuerza externa, cuando se le aplica una fuerza externa de deforma alargándose o acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”, cada resorte se caracteriza mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que aplicarle.
La fuerza que ejerce el resorte es igual a la fuerza externa aplicada y se llama fuerza recuperadora elástica que es igual a:
[pic 1]
A través de la segunda ley de Newton igualamos la actuante con la aceleración
[pic 2]
Y si despejamos la posición, la aceleración será equivalente a la elongación
[pic 3]
En este método también se aplica la ley de Hooke
[pic 4]
Donde k es la constante del resorte
Esta es la ecuación diferencial que moldea el movimiento de un sistema masa resorte
[pic 5]
Existen 3 casos de solución para ese sistema
-Caso 1 (raíces reales iguales) críticamente amortiguado
[pic 6]
-Caso 2 (raíces reales diferentes) sobre amortiguado
[pic 7]
-Caso 3 raíces complejas conjugadas
[pic 8]
supongamos que se agrega ahora un dispositivo mecánico (amortiguador) al sistema masa-resorte que tiene el efecto de reducir la velocidad de la masa cuando el sistema se encuentra vibrando.[pic 9]
El amortiguador ejerce una fuerza dependiente de la velocidad de la masa; entre mayor sea la velocidad, mayor es la fuerza que ejerce. Por simplicidad supondremos que esta fuerza en magnitud es proporcional a la rapidez, es decir:
Entonces, la fuerza que ejerce el amortiguador es:[pic 10]
[pic 11]
Donde el signo negativo indica que la fuerza de amortiguación va en sentido contrario a la velocidad del cuerpo. La fuerza total ejercida sobre la masa es;
[pic 12]
Lo cual se puede describir de igual forma como:
[pic 13]
La ecuación modela el movimiento amortiguado de la masa. La ecuación característica de la ecuación diferencial es
[pic 14]
La cual cuenta con dos raíces y se obtiene lo siguiente
[pic 15]
El signo del radicando determina el tipo de movimiento en el sistema
Con tres posibilidades que sea positivo, negativo o cero.
Movimiento sobre-amortiguado (radicando positivo) ejemplo;
Considere un sistema masa-resorte-amortiguador con las siguientes características
[pic 16]
En este caso la ecuación diferencia a resolver es:
[pic 17]
Cuya ecuación característica es:
[pic 18]
Las raíces de esta ecuación son:
[pic 19]
La solución general de la ecuación es;
Donde “x(t)” es la posición
[pic 20]
Para obtener las constantes necesitamos calcular la velocidad con las condiciones iniciales. La velocidad se obtiene con la derivada de la posición;
[pic 21]
Si ahora utilizamos las condiciones iniciales obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Con el sistema se obtienen los valores sustituyendo en la primera ecuación resulta finalmente obtenemos el valor de [pic 25][pic 26][pic 27]
Así se obtiene que la posición en movimiento en todo momento esta expresado por:
[pic 28]
[pic 29]
Movimiento críticamente amortiguado
[pic 30]
En este caso las dos raíces de la ecuación característica son iguales a
...