APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD MARISTA DE QUERETARO

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

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APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ALTAMIRANO VELAZQUEZ FERNANDO JAIR

QUERETARO, QRO, NOVIEMBRE 2021

Las ecuaciones diferenciales son muy usadas como modelos matemáticos en el estudio del análisis de poblaciones, los comportamientos radioactivos, aplicación a las leyes de la termodinámica, reacciones químicas, el cálculo de circuitos y series.

En esencia, la idea del modelo maltusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t) de ese país en cualquier momento t. En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar

=KP o [pic 2][pic 3]

donde k es una constante de proporcionalidad.

Construcción de un modelo

1. Identificación de las variables a las que se atribuyen el cambio del sistema. Al principio se podría elegir no incorporar todas estas variables en el modelo.
2. Se elabora un conjunto de suposiciones razonables, o hipótesis acerca del sistema que se está intentando describir sus pociones también incluirán algunas leyes empíricas que podrían ser aplicables al sistema
3. Al hacer un modelado matemático es como estar realizando una investigación científica aplicando una receta más práctica y sencilla. Porque primero se observa el fenómeno se crea la hipótesis se hacen algunas predicciones y al final experimentos

Ejercicio

La población mundial en el año 1985 era de aproximadamente 4830 millones de personas y, en aquel momento, crecía a un ritmo de un 1.73 % por año. Suponiendo que el crecimiento de la población se rigiera por el modelo exponencial, calcular el valor estimado de la población mundial en el año 2010.

La ley de Malthus (o de crecimiento exponencial) dice que el número de individuos de la población en el instante t, P(t), verifica la ecuación diferencial:

 , cuya solución general es  [pic 4][pic 5]

En esta expresión hay dos constantes que no se conocen (de momento): k y C. Para determinar su valor utilizaremos el resto de la información:

1. P (1985) = 4830 millones.

2. La población crece un 1.73 % cada año, de donde, por ejemplo, en el año 1986, la población se habría incrementado en un 1.73 % de 4830 millones, es decir

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De ambos datos se tiene:[pic 7]

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s         [pic 9][pic 10]

Y de aquí sale

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Ahora que conocemos el valor de k, se tiene:

...