Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

Planteamiento:

La física se ocupa del estudio de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo físico. Por el universo físico, nos referimos a todas las cosas que nos rodean, no solo las cosas que notamos sino también las cosas que no notamos, como átomos y moléculas.

El estudio del movimiento de las cosas en nuestro universo es una rama de la mecánica llamada dinámica formada por las leyes del movimiento descritas por Newton. Para cosas muy rápidas, cercanas a la velocidad de la luz, no podemos usar las leyes de Newton. En su lugar, deberíamos usar una versión modificada de esta establecida por Einstein y conocida como mecánica relativista o mecánica de la relatividad.

Para objetos de tamaño atómico, las leyes de Newton tampoco son válidos. De hecho, para descripciones precisas del movimiento de objetos desde el tamaño atómico, tenemos que establecer un conjunto de leyes llamadas mecánica cuántica. La mecánica cuántica y la relatividad son muy complejas.

Ecuaciones Diferenciales en la Mecánica Clásica

Para empezar, se mostrará como se resolvería un problema de mecánica clásica el cual es la caída libre de un objeto teniendo en cuenta que la segunda ley de Newton nos proporciona una relación importante y dice que "El producto de la masa de un cuerpo por su aceleración es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza que actúa sobre dicho cuerpo" y esto se puede expresar con ecuaciones diferenciales si sabemos qué:

[pic 1]

Y  que se pude expresar como la primera derivada de la velocidad o como la segunda derivada de un desplazamiento [pic 2]

[pic 3][pic 4]Conociendo el problema físico podemos aplicar lo visto anteriormente para poder resolver problemas de mecánica clásica y encontrar una solución

A continuación, se mostrará un ejemplo aclaratorio donde se involucra la caída libre

Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad, partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Vamos a establecer la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento

[pic 5]

Formulación matemática:

[pic 6][pic 7] Sea A en la figura la posición de la masa m en el tiempo t = 0, y sea Pi la posición de m en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En este ejemplo observamos que la variación se realiza respecto del eje x.

La velocidad instantánea en P es o la aceleracion como

la fuerza que actúa es el peso, siendo su magnitud. Por la ley de Newton tenemos:

[pic 8]

Puesto que la masa cae desde el reposo, vemos que v = 0 cuando t = 0, o en otras palabras v (0) =0.

Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial v(t)

[pic 9]

[pic 10]Aquí tenemos una ecuación de primer orden y su condición requerida. Otra manera de formular el problema es escribir:

Como escogimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en A. La formulación matemática es:

[pic 11]

Cuando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir algún fenómeno o ley, siempre las acompañaremos de suficientes condiciones necesarias para la determinación de las constantes arbitrarias en la solución general.

Solución

[pic 12]Empezando con  (separación de variables) obtenemos por integración. Puesto que v=0 cuando t = 0, , o , esto es, .[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Otra integración produce de la anterior ecuación puesto que    . Por tanto .[pic 18][pic 19]

Podríamos haber llegado al mismo resultado si comenzábamos con

[pic 20]

El signo más indica que el objeto se está moviendo en la dirección positiva, esto es, hacia abajo. Se debería tener en cuenta que si hubiéramos tomado la dirección positiva hacia arriba la ecuación diferencial hubiera sido , esto es  o [pic 21][pic 22][pic 23]

Esto conduciría a resultados equivalentes a los obtenidos. Para otros problemas similares la forma de actuar es la misma.

Ecuaciones Diferenciales en los Circuitos Eléctricos

Planteamiento:

Así como la mecánica tiene como base fundamental las leyes de Newton, la electricidad también tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos eléctricos, conocida como la ley de Kirchhoff. Aunque la teoría de la electricidad está gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teoría electromagnética como las ecuaciones de Maxwell. La ley de Kirchhoff es adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos eléctricos. El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie, en el cual tenemos una fem (fuerza electromotriz), la cual actúa como una fuente de energía tal como una batería o generador, y una resistencia, la cual consume o usa energía, tal como una bombilla eléctrica, tostador, u otro electrodoméstico.

En física elemental encontramos que la fem está relacionada con el flujo de corriente en el circuito. En forma simple, la ley dice que la corriente instantánea I (en un circuito que contiene sólo una fem E y una resistencia R) es directamente proporcional a la fem. Simbólicamente: I α E o I α E de donde, E = IR donde R es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o simplemente, resistencia. La ecuación anterior es conocida bajo el nombre de la ley de Ohm.

Circuitos más complicados, pero para muchos casos más prácticos, son circuitos que contienen otros elementos distintos a resistencias. Dos elementos importantes son inductores y condensadores.

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