Ecuaciones Diferenciales Tema: Aplicaciones

Curso: Ecuaciones Diferenciales

Tema: Aplicaciones

Aplicación de la EDOL  de segundo orden:

● Sistema cuerpo-resorte: movimiento armónico simple

Supongamos que tenemos un resorte dispuesto en forma vertical, con el extremo superior fijado a una superficie horizontal y el otro extremo libre al cual se le fija un objeto de masa m, asumiremos que la fuerza de restauración  del resorte (la fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo) está dada por la Ley de Hooke la cual   establece que el resorte ejerce una fuerza sobre la masa que es directamente  proporcional a la deformación  que este experimenta, en términos matemáticos:

[pic 1]                                                         [pic 2]

donde:

[pic 3]: elongación del resorte.

[pic 4]: constante elástica del resorte.

Ahora deduzcamos la EDOL que rige el movimiento de la masa sujeta al resorte (ver figura).

[pic 5]

Por  aplicación de la segunda ley de Newton  tenemos:

                                      [pic 6]

El signo negativo en F indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su posición  (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

Hagamos:

                                     [pic 7]

Ecuación auxiliar: [pic 8][pic 9]

Solución general:

                                 [pic 10]

Convenciones de signo

Condiciones iniciales:

● [pic 11]

Si [pic 12] el cuerpo está por debajo de la PE (posición de equilibrio)

Si [pic 13] el cuerpo está por encima de la PE.

Si [pic 14]: el cuerpo está en la PE.

●[pic 15]

Si [pic 16] el cuerpo inicia su movimiento con velocidad hacia debajo de la PE.

Si [pic 17] el cuerpo inicia su movimiento con velocidad hacia arriba de la PE

Si [pic 18] el cuerpo inicia su movimiento desde el reposo.

Esto nos permite encontrar las constantes [pic 19] ,[pic 20]  y por lo tanto la posición (también llamada elongación) [pic 21] del objeto en todo instante de tiempo con respecto a la posición de equilibrio.

Ejemplo 1

Un objeto de 5 Kg. de masa estira un resorte 0,2 m sobre su longitud natural. Si el resorte se estira hasta medir 0,6 m más que su longitud en el equilibrio y luego se suelta con velocidad inicial de 0,7 m/s dirigida hacia arriba de la posición de equilibrio, determine la posición del objeto en cualquier tiempo t.  

Solución:

De los datos obtenemos [pic 22] (en newton por metro), luego si  [pic 23] representa la posición (en metros) en el instante  [pic 24](en segundos) planteamos el PVI:

                                   [pic 25]

 Cuya solución es [pic 26]

Ejemplo 2

Un resorte dispuesto en forma vertical tiene una  constante de elasticidad  de 32 libras fuerza por pie, de su extremo inferior se sujeta un cuerpo cuyo  peso  es de 4 libras fuerza. Cuando el sistema  está en su posición de equilibrio se suelta el cuerpo desde un punto situado a  [pic 27] pies por arriba de dicha posición con una velocidad 12 pies por segundo dirigida hacia arriba de la posición de equilibrio, determine la posición del cuerpo en cualquier instante de tiempo.

Solución:

En este caso tenemos [pic 28], constante del resorte masa del cuerpo, la masa (en libras) es [pic 29], el PVI que modela el problema es

                                                [pic 30]     

La  solución general  de la EDOL que conforma el PVI es:

                                  [pic 31]         

Además

                   [pic 32]

y si [pic 33]

Luego [pic 34]

Finalmente,

                               [pic 35]

● Sistema cuerpo-resorte: movimiento amortiguado

Cuando el cuerpo sujeto al resorte se mueve en un medio que produce fricción sobre el cuerpo, entonces decimos que el movimiento se efectúa con amortiguamiento (ver figura).

Supongamos  que el cuerpo se encuentra en un medio que ofrece una fuerza amortiguadora proporcional a la velocidad del cuerpo   ([pic 36].[pic 37]

Por ejemplo, si el sistema cuerpo-resorte se encuentra sumergido en un

 barril con algún tipo de líquido (aceite, por ejemplo).

En ciertas situaciones puede ser válida una fórmula más complicada para la

fuerza de amortiguación, pero los estudios empíricos demuestran que

cuando la velocidad es pequeña, la expresión de [pic 38] dada anteriormente

es razonable. No olvide que estamos  suponiendo que el amortiguamiento es

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