APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS:

INTRODUCCION:

El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz, en el siglo XVIII, sentó las bases para el desarrollo de las matemáticas, ciencias y la ingeniería. Uno de tales avances corresponde a la rama que las matemáticas denominan ecuaciones diferenciales.

Muchos problemas de matemáticas aplicadas, usan ecuaciones diferenciales ordinarias.

Los ingenieros y científicos, frecuentemente hacen uso de las ecuaciones diferenciales para modelar los efectos del cambio, movimiento y crecimiento. Por ejemplo, ecuaciones diferenciales que predicen la dinámica poblacional, la estabilidad de la órbita en los satélites, o el movimiento de recursos en un mercado financiero.

Los modelos más precisos y sofisticados, con efectos aleatorios o estocásticos, vienen a ser más significativos. Siendo la aleatorización del sistema, la parte de mayor interés en el modelo. La solución de tales problemas, comprende una nueva área en matemáticas, denominada cálculo estocástico; y corresponde a una generalización estocástica del cálculo diferencial clásico.

Por ello en el presente trabajo exponemos algunos de la gran cantidad de casos que existen donde se aplican las ecuaciones diferenciales, tanto por matemáticos, físicos, ingenieros y entre otros profesionales, donde ayudan a resolver problemas que sería muy tedioso resolver por otros métodos.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS:

Un generador con una fem de 50 v se conecta en serie con una resistencia de 6 ohmios y un inductor de 2 Henrios. Si el interruptor K se cierra a t=0, determine la corriente para todo t.

Solución:

La ED del circuito es dividiendo todo sobre v(voltios) nos queda de la siguiente forma:

2 di/dt+6i=50

Dividiendo entre 2 nuestra ecuación obtenemos:

di/dt+3i=25

Desarrollando nuestra ecuación:

di/dt=25-3i

di/(25-3i)=dt………(*)

Aplicando cambio de variable:

u=25-3i  du=-3di

Reemplazando en (*)

∫▒du/(-3u)=∫▒dt

(-1)/3 Ln(25-3i)+c1=t+c2

(-1)/3 Ln(25-3i)+c1-c2=t

(-1)/3 Ln(25-3i)+c3=t

(-1)/3 Ln(25-3i)+Lnc3=t

(-1)/3 Ln(25-3i).c3=t

Ln(25-3i).c3=-3t

(25-3i).c3=e^(-3t)

(25-3i)=e^(-3t)/c3

3i=〖25-ce〗^(-3t)

i(t)=〖25/3-ce〗^(-3t)…………..(**)

Luego en la ecuación (**) aplicamos la condición inicial donde nos dice que el interruptor se cierra en un tiempo cero donde la corriente en ese instante también tendrá un valor de cero.

i(0)=〖25/3-ce〗^(-3x0)

De donde obtenemos:

25/3=c

Remplazando el valor de la constante en la ecuación obtenemos la siguiente ecuación:

i(t)=〖25/3-25/3 e〗^(-3x0)

i(t)=〖25/3(1-e〗^(-3t))

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA INGENIERIA FORENSE:

Se ha encontrado que un hueso antiguo contiene 1/8 de la cantidad original de C-14 de un hueso al tiempo actual. ¿Cuál es la antigüedad del fósil?

Solución. Sea x(t) la cantidad de C-14 presente en el hueso al tiempo t y sea x_0 la cantidad de C-14 cuando se formó la muestra, es decir x(0)= x_0. La vida media del C-14 es de 5,568 años, por lo cual x(5568)= x_0/2 . Además dx/st es la velocidad de desintegración radiactiva del C-14.

Determinaremos la edad del fósil al encontrar el valor de t para el cual x(t)= x_0/8.

Para eso, partimos de que:

dx/dt=kx

x(0)= x_0

Cuya solución es

x(t)= x_0 e^kt

Considerando que x(5568)= x_0/2 , obtenemos

x_0 e^5569k= x_0/2

5568k=ln⁡〖1/2〗

k= -0.00012448

Y así

x(t)= x_0 e^(-0.00012448)

Buscamos el valor de t para la cual

x(t)= x_0/8

Tenemos que

x_0 e^(-0.00012448t)= x_0/8

-0.00012448t=ln 1/8

t= (-ln8)/(-0.00012448)

t=16705

Así el fósil tiene una antigüedad de 16705 años.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECANICA:

Al abrir su paracaídas un paracaidista está cayendo con una velocidad de 176 pies/seg, si la fuerza de resistencia del aire es Wv2/256 lb, donde W es el peso total del hombre y del paracaídas y “v” la velocidad con que va cayendo, hallar la velocidad en cualquier tiempo después de abierto el paracaídas

Solución:

De la segunda ley de newton sabemos que W=mg donde g=32 pies/seg2

m dv/dt=Ft

m dv/dt=W-Fr

m dv/dt=W-(Wv^2)/256

m dv/dt=((256-v^2)mg)/256

m dv/dt=(256-v^2 )x32m/256

m dv/dt=(256-v^2 )m/8

Equivalente a:

dv/dt=((256-v^2 ))/8

dv/((256-v^2 ) )=dt/8

Reemplazando tenemos:

(-1)/2 ∫▒dv/((256-v^2 ) )=∫▒dt/8

1/32 Ln((16+v)/(16-v))+c=t/8

1/32 Ln((16+v)/(16-v))+Lnc=t/8

1/32 Ln(c((16+v)/(16-v)))=t/8

Ln(c((16+v)/(16-v)))=4t

e^4t=c((16+v)/(16-v))

e^(-4t)=c((16-v)/(16c+vc))

Despejando obtenemos:

v=(16(1-ce^(-4t)))/((1+ce^(-4t)))

Utilizamos el dato de que v (0)=176 pies/seg:

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