Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Juandariel Varon Forero - Grupo 1A-12

Edwin Steven Gamboa Delgado - Grupo 1A-13

Odannys Enrique De La Cruz Calvo - Grupo 1A-13

Johnatan Camilo Amaya Pinzón - Grupo 1A-13

Ingeniería de sistemas, Fundación Universitaria Área Andina

Actividad eje 2 – Ecuaciones Diferenciales

Prof. Miguel Ángel Granados Peñaranda

4 de marzo de 2023

INTRODUCCIÓN

En este eje aplicaremos métodos de las ecuaciones diferenciales, en las diferentes disciplinas de conocimientos como son la física, la química, la biología, la economía y la ingeniería. Las ecuaciones diferenciales son una herramienta matemática esencial para describir el comportamiento de los sistemas dinámicos que cambian con el tiempo, el cual se utiliza para modelar fenómenos en una amplia variedad de campos científicos y técnicos.

Objetivo general

Presentar algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en varias disciplinas del conocimiento como la ingeniería, la Física, entre otras. 

Objetivo específico

Comprender que el uso de las diferentes prácticas no solo se basa en teoría, sino que a través de aplicarlas en la vida diaria y entender cómo las ecuaciones diferenciales nos sirven para medir y determinar cantidad, tiempo, espacio entre otros.

Casos propuestos

Por grupo, planteen al menos una aplicación de las ecuaciones diferenciales en las siguientes tres disciplinas del conocimiento:

• Situación 1. Leyes del movimiento de Newton.
• Situación 2. Problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.
• Situación 3. Circuitos eléctricos.

Situación 1. Leyes del movimiento de Newton.

INTRODUCCIÓN:

Las ecuaciones diferenciales son una herramienta fundamental en la resolución de problemas físicos, ya que permiten modelar y predecir el comportamiento de sistemas físicos complejos que cambian con el tiempo, como los cuerpos en movimiento que están sujetos a fuerzas. Gracias a esto podemos decir que las leyes del movimiento de Newton, son de gran importancia y constituyen una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones diferenciales en la física.

Las ecuaciones diferenciales permiten Las leyes de Newton, que establecen la relación entre la fuerza y el movimiento, son esenciales para la descripción matemática de estos sistemas, y se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.

Al trabajar con sistemas más complejos, como cuerpos que interactúan entre sí mediante fuerzas gravitatorias, se requieren ecuaciones diferenciales más complejas que describen la dinámica del sistema. En este caso, se utilizan las leyes de Newton y las leyes de gravitación de Kepler para formular ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de los cuerpos celestes en el espacio.

Las leyes de Newton han tenido una gran influencia en la física, la ingeniería y muchas otras áreas de la ciencia y la tecnología. Permitiendo desarrollar teorías y técnicas que describen el movimiento de los cuerpos en el universo, incluyendo la mecánica clásica, la relatividad y la mecánica cuántica.

MARCO TEÓRICO

1. La primera ley de Newton establece que un objeto en reposo permanecerá en reposo y un objeto en movimiento continuará moviéndose en línea recta a velocidad constante a menos que una fuerza externa actúe sobre él. Esto significa que un cuerpo no puede cambiar su estado de movimiento por sí solo, sino que se necesita la acción de una fuerza externa para que esto ocurra.

En la primera ley de Newton, las ecuaciones diferenciales se utilizan para describir la relación entre la posición, la velocidad y la aceleración de un objeto en ausencia de fuerzas externas. Si un objeto no experimenta ninguna fuerza neta, entonces su movimiento es uniforme y rectilíneo. Las ecuaciones diferenciales asociadas a la primera ley de Newton son de primer orden y se pueden resolver utilizando técnicas básicas de cálculo diferencial.

1. La segunda ley de Newton establece que la fuerza neta que actúa sobre un objeto es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración. Esta ley proporciona una relación matemática precisa entre la fuerza y el movimiento de un objeto, lo que permite hacer predicciones precisas sobre su comportamiento en diferentes situaciones.

En la segunda ley de Newton, las ecuaciones diferenciales se utilizan para describir la relación entre la fuerza neta aplicada a un objeto y su aceleración resultante. Las ecuaciones diferenciales asociadas a la segunda ley de Newton son de segundo orden y se pueden resolver utilizando técnicas avanzadas de cálculo diferencial, como la integración numérica.

1. La tercera ley de Newton establece que para cada acción hay una reacción igual y opuesta. Esto significa que cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, este segundo objeto ejerce una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta sobre el primero.

En la tercera ley de Newton, las ecuaciones diferenciales se utilizan para describir la relación entre las fuerzas de acción y reacción de dos objetos interactuando entre sí. Estas ecuaciones son acopladas y se pueden resolver utilizando técnicas avanzadas de álgebra lineal y cálculo diferencial.

 EJEMPLO:

Un ejemplo de la aplicación de las ecuaciones diferenciales en las leyes de Newton es el movimiento de un objeto que cae libremente bajo la influencia de la gravedad. En este ejemplo, se utiliza la segunda ley de Newton para derivar una ecuación diferencial que describe la aceleración del objeto en función del tiempo.

Supongamos que un objeto de masa m cae libremente desde una altura h, sin resistencia del aire. La fuerza neta que actúa sobre el objeto es la fuerza gravitatoria, que está dada por F = mg, donde g es la aceleración debido a la gravedad. Según la segunda ley de Newton, la fuerza neta es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración, es decir, F = ma. Por lo tanto, tenemos:

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