APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones cotidianas y no tan cotidianas o mas bien un poco más científicas.

¿Para qué nos sirven las ecuaciones diferenciales?

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales y en diferencia para los ingenieros, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones.

Las ecuaciones diferenciales permiten modelar muchos fenómenos de la naturaleza (La física está llena de ecuaciones diferenciales) y de la sociedad (como la evolución de las poblaciones).

Antes de la aparición de las computadoras, resolver algunas ecuaciones diferenciales podía ser muy difícil, pero en la actualidad resulta muy sencillo obtener soluciones aproximadas que son de manera general suficientemente buenas para todas las aplicaciones.

¿En qué área se Aplican?

•  Aplicaciones Biológicas

Uno de los campos más fascinantes del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde los microorganismos más elementales hasta la misma humanidad.

•  Crecimiento Biológico

Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación fundamental es:

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Con Solución         Y= Ce

Donde C es una constante arbitraria. De esto se vemos el crecimiento ocurre si es > 0 mientras que el decremento ocurre si es < 0.

• Aplicaciones en la Economía

En años anteriores ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas. La formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

El uso de las ecuaciones diferenciales presupone que conocemos el comportamiento del sistema dinámico para cada valor de los factores que influyen sobre él ( las denominadas variables independientes) y que, en la mayoría de los casos, incluyen la variable del tiempo. El uso de las ecuaciones diferenciales en el contexto de las finanzas es múltiple y variado, ya que este tipo de ecuaciones permite modelizar cualquier situación o fenómeno que presenta variaciones en función de sus factores (por ejemplo, cambios y alteraciones a partir del tiempo)

En este sentido, las ecuaciones diferenciales son especialmente útiles para la fijación de precios de las opciones europeas y de las americanas, los métodos numéricos basados en ecuaciones y los algoritmos usando estos últimos suelen ser más fáciles de implementar.

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• Aplicaciones en la Medicina

Propagación de una enfermedad: una gripe se determina en una comunidad por medio de la gente que entra en contacto con otras personas. Sea  x (t) el numero de personas que se han contagiado con la enfermedad y y(t) el numero de personas que aun no se contagian esta sería la ecuación:

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• Dinámica de Población:

La suposición de que la rapidez a la rapidez a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento la ecuación para este modelo es:

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• Electricidad

Circuitos en serie: este circuito contiene resistores, capacitores y un inductor. La corriente en un circuito después de que se cierra un conmutador se detona mediante i(t) la carga de un capacitor en el Tiempo t se detona por q(t().. ahora de acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff el voltaje impreso (t) en un circuito cerrado de ser igual a la suma de sus caídas de voltaje.

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• Informática

En la informática nos permite principalmente en el desarrollo del software ya que permite mejorar la lógica y el raciocinio para realizar algoritmos o métodos que soluciones situaciones complejas.

También nos sirven para hacer cálculos matemáticos de ecuaciones diferenciales, estructura de datos, criptografía, teoría de la información.

Las ecuaciones diferenciales son una herramienta indispensable para el conocimiento y desarrollo de las tecnologías. En la ciencia y en esta ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender los fenómenos físicos.

Las ecuaciones diferenciales son esenciales para hallar las aplicaciones que existen a las teorías que rigen el comportamiento del hardware.

Gracias a la versatilidad de las ecuaciones diferenciales se puede dar solución a los problemas matemáticos que son de gran apoyo para el desarrollo de software y problemas mas complejos como la inteligencia artificial y la robótica.

Al comprender las ecuaciones diferenciales podemos dar solución a los problemas de la vida cotidiana y podemos desarrollarlas en programas.

Ejemplos

 Aplicados en la Vida Cotidiana

1.- Se establece que la población de una especie foránea de peces esta creciendo de manera exponencial, de tal forma que en un inicio se calculó una población de 50,000 peces y 5 años más tarde la población ascendía a 75,000. En función de t (t=años), el crecimiento de la especie de peces esta dado por la siguiente función.

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Se realiza la integración:

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De allí que:

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La solución general es:

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Donde  y k son constantes; para determinar el valor de  se aplica la condición inicial según la cual P = 50,000  y  t = 0[pic 10][pic 11]

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