Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene funciones de una o más variables y sus derivadas.

Para hablar acerca de ellas clasificaremos a las EDO por tipo, orden, grado y linealidad.

POR TIPO.

Si una ecuación contiene solo derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).

dy/dx=(x-y)/(x+y)

y^''+5y^'+6y=0

dx/dt+dy/dt=2x+y

La solución de las 2 primeras ecuaciones es una función de la forma y=f(x), mientras que la solución de la tercera ecuación son ecuaciones paramétricas de la forma y=f(t), x=f(t).

Si una ecuación involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes respecto de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP).

(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )=2x-3y

(∂^2 u)/(∂x^2 )=(∂^2 u)/(∂y^2 )-2 ∂u/∂y

La solución de estas ecuaciones son funciones de la forma u=f(x,y)

POR ORDEN.

El orden de una ED (ya sea EDO o EDP) es el orden de la mayor derivada en la ecuación. Ejemplo

segundo orden primer orden

(d^2 y)/(dx^2 )+5(dy/dx)^3-4y=e^x

Por lo tanto es una EDO de segundo orden.

La ecuación y^'''-3y^''-3y'=x es una EDO de tercer orden.

POR EL GRADO.

El grado de una EDO está dado por el exponente entero positivo al que se encuentre elevada la derivada de mayor orden. Ejemplo

(y''')^4+2(y'')^5-3y^'+2y=0

Por lo tanto es una EDO de tercer orden y de grado cuatro.

La ecuación dy/dx-((d^4 y)/(dx^4 ))^2-5((d^3 y)/(dx^3 ))^3=x+y es una EDO de cuarto orden y de grado 2

POR LINEALIDAD.

Una EDO de n-ésimo orden es lineal si puede escribirse en la forma general

a_n (x) (d^n y)/(dx^n )+a_(n-1) (x) (d^(n-1) y)/(dx^(n-1) )+⋯+a_1 (x) dy/dx+a_0 (x)y=Q(x)

En la cual deben cumplir dos características:

La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado, es decir están elevadas al exponente 1.

Los coeficientes a_n,a_(n-1),…,a_(1,) a_0 dependen a lo más o son funciones de la variable independiente x solamente.

Una ecuación diferencial que no cumpla alguna de estas condiciones es no lineal.

Ejemplos:

(d^3 y)/(dx^3 )+x dy/dx-5y=e^x es una EDO, de tercer orden, de grado 1 y lineal.

dy/dx+y/(x+1)=sin⁡(x) es una EDO, de primer orden, de grado 1 y lineal.

dy/dx+y/(x+1)=sin⁡(x) es una EDO, de primer orden,

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