APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMIA

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMIA

I PRINCIPIO ECONOMICO DE LA OFERTA Y LA DEMANDA

        El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es p(t), esta determinado por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t.

        La demanda que corresponde al numero de unidades de un bien que desean los consumidores en cualquier tiempo t, que se representa por D(t) o simplemente D puede depender no solo del precio p(t), sino que también de la tasa de cambio del precio con respecto al tiempo, es decir de p’(t).

        La Oferta que corresponde al numero de unidades de un bien que  los productores tienen disponible en un cierto tiempo t, que se representa por S(t) o simplemente S puede depender no solo del precio p(t), sino que también de la tasa de cambio del precio con respecto al tiempo, es decir de p’(t).

        De aplicar el principio económico de la demanda y la oferta surge una aplicación de las ecuaciones diferenciales.

Ejemplo Ilustrativo.

        La demanda y la oferta de un cierto bien están dadas en miles de unidades por:

[pic 1]

Si en t = 0  el precio del bien es 10 encuentre:

1. El precio en cualquier tiempo t >0.
2. Si hay o no estabilidad del precio.

Solución:

        El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta y la demanda, esto es:

[pic 2]

La cual es una ecuación de variables separables o lineal de primer orden sujeta a la condición p(0) = 10.

La cual al resolver tenemos:

[pic 3]

Al resolver la integral y aplicar la condición inicial se tiene:

[pic 4]

Para responder a la pregunta b) basta con aplicar el límite con t tendiendo a infinito.

[pic 5]

Por tanto tenemos estabilidad del precio y el precio de equilibrio es 6.

II INVENTARIOS

Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en el tiempo t (inventario). Se ha demostrado que aproximadamente:

                        [pic 6]

Supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario.  En este caso se tiene:

[pic 7]

Puesto que S y D se pueden expresar en términos de p(t) la ecuación anterior es una ecuación diferencial para p en función de t. En el siguiente ejemplo se muestra de manera más clara la situación anterior:

Ejemplo Ilustrativo.

        Suponga que la demanda y la oferta de un cierto bien están dadas en términos de precios  por:

[pic 8]

La constante de proporcionalidad es k = 4

1. Escriba una ecuación diferencial para p.
2. Determine el precio en cualquier tiempo, asumiendo que p = 8 en t = 0.

Solución:

Aplicando el modelo:

[pic 9]

Se tiene que

[pic 10]

Resolviendo y aplicando la condición inicial se tiene que:

[pic 11]

III PROBLEMAS MISCELANEOS

1.-  Depreciación de un capital.

Se sabe que un cierto capital pierde su valor  a una velocidad proporcional a su valor presente. Un capital inicial tiene originalmente un valor inicial de [pic 12] dólares, transcurridos 24 meses ha experimentado una reducción del 10%. Encuentre una expresión para el capital en cualquier tiempo. Calcule también el intervalo de tiempo que debe transcurrir para que el capital original se reduzca a la mitad de su valor.

Solución:

Sea C(t) el valor del capital en el tiempo t. Ya que la velocidad de cambio del capital [pic 13]es proporcional a [pic 14], se tiene:

[pic 15]

Donde k es la constante de proporcionalidad. La ecuación anterior puede resolverse por separación de variables, obteniendo:

[pic 16]

Donde A y k son constantes a determinar de acuerdo a las condiciones iniciales.

Sabemos que en [pic 17]el valor del capital es [pic 18]y en [pic 19]el valor del capital se ha reducido un 10% osea es [pic 20], al aplicar la primera condición obtenemos:

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