Geometria Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la geometría.

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Tecnológico de Estudios Superiores de Valle de Bravo

Carrera: Ingeniería Eléctrica

Grupo: 401

Cuarto semestre

Materia: Ecuaciones diferenciales.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la geometría.

Nombre de los estudiantes:

• Mario Alberto López Albiter
• Luis Ángel López López
• Leonel octaviano Mondragón

Docente: Ing. Miguel Ángel Reyes Contreras

Fecha: 03 de Abril de 2017

MARCO TEÓRICO REFERENCIAL.

Para las aplicaciones a los problemas de trayectorias se efectúan las deducciones de cómo va a cambiar la pendiente de las recta tangente a la familia de curvas dadas para obtener la pendiente de la familia de trayectorias, tanto para el caso en que las trayectorias son ortogonales (perpendiculares), como para el caso en que las trayectorias son a un ángulo diferente de 90º.

Ortogonal: ortogonal significa que es perpendicular, en este caso, la familia de curvas forma un ángulo de 90° respecto a la elipse que se forma al formar la ecuación diferencial.

Elipse: Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos.

Los focos de la elipse son dos puntos. Respecto de ellos la suma de las distancias a cualquier otro punto de la elipse es constante.

Geometría: trayectorias ortogonales (Caso de la elipse curva 1).[pic 3]

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Para elipse

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Se tiene: 2 focos

               2 vértices

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MARGEN DE COMPRENSION                   [pic 28]

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DESARROLLO ANALÍTICO Y GEOMÉTRICO DE LA EDO.

Trayectorias Ortogonales.

Suponga que se tiene una familia de curvas yc(x) que dependen de un parámetro y se buscan hallar las curvas que son perpendiculares a la familia yc. Tales curvas perpendiculares se llaman las trayectorias ortogonales a la familia paramétrica de curvas. Dos curvas son ortogonales cuando en los puntos en que se intersecan, las rectas tangentes correspondientes son perpendiculares. Ahora bien, de geometría euclídea se sabe que dos rectas con pendientes m1,m2 son perpendiculares si y solo si

        m1m2 = −1        

Ahora bien, si la curva ortogonal es y(x), dado que las pendientes de las rectas tangentes son y’ y yc’ respectivamente, la ecuación diferencial que debe cumplir y es

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En resumen, para encontrar las curvas ortogonales a la familia yc(x) se resuelve la ecuación diferencial                                [pic 32]        

Ejemplo.

Halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas yc = cx5. Suponga que y es una curva ortogonal a todas las curvas yc. Primero que todo, si y y yc se intersecan en x entonces

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