Solucion de una ecuación diferencial lineal de primer orden

Tarea: 3

Parcial: 3

Tema: Solución de Ecuaciones lineales de primer orden

Introducción

La presente investigación tiene como finalidad explicar la forma en la que se resuelve una ecuación diferencial lineal de primer orden, asimismo, se hace uso de un ejemplo ilustrativo para que los conceptos, ecuaciones, métodos, formas de representación queden mas claros.

Investigación

Una ecuación diferencial lineal de primer orden escrita en la forma estándar o canónica es:

[pic 1]

Si en (1), g(x) = 0, se dice entonces que la ecuación es homogénea; en caso contrario es no homogénea. Casi siempre es posible resolver analíticamente una ecuación diferencial lineal. Existen varios métodos analíticos ideados para resolver una ecuación lineal de primer orden. El primero de ellos, que se denomina método del factor integrante, utiliza el siguiente factor de integración:

[pic 2]

Como se puede observar el factor de integración depende de la función coeficiente de y en (1), esto es, depende de p(x).

Una alternativa, al buscar la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden, es tomar g(x)=0, obteniéndose de esta forma la ED homogénea asociada a la (1).

Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden se procede como sigue:

1.  Se lleva la ecuación dada a la forma:

[pic 3]

2.  Se identifica el coeficiente de y, esto es, la función p(x) y se determina el factor integrante dado por:

[pic 4]

3.  Se multiplica la ecuación obtenida en el paso 1 por el factor de integración calculado en el paso 2:

[pic 5]

4.  Se observa que el miembro izquierdo de la ecuación tiene la forma expandida de la derivada de un producto; se escribe esta derivada en la forma no expandida:

[pic 6]

[pic 7]

5.  Se integran ambos miembros de la ecuación obtenida en el paso 4:

[pic 8]

6.  Se despeja la función y:

[pic 9]

Ejemplo ilustrativo:[pic 10]

Fuentes Bibliograficas

Ecuaciones diferenciales. (s. f.). ecuacionesdiferenciales.net. Recuperado 6 de junio de 2022, de https://www.ecuacionesdiferenciales.jcbmat.com/id225.htm

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