Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Enviado por Pamela Flores • 16 de Abril de 2022 • Práctica o problema • 537 Palabras (3 Páginas) • 120 Visitas
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Definición:
Consideremos la ecuación diferencial ordinaria:
[pic 1]
Donde y son funciones solamente de “x”. [pic 2][pic 3]
Suponiendo que , entonces, dividiendo a la ecuación (1) por se tiene:[pic 4][pic 5]
[pic 6]
Reemplazamos las funciones por:
[pic 7]
Reemplazando
[pic 8]
A la ecuación (2) llamaremos ecuación diferencial lineal de primer orden en “y”
Se tiene dos valores para . Cuando [pic 9][pic 10]
Ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea
Si , la ecuación (2) tomara la forma: [pic 11]
[pic 12]
A la ecuación (3) llamaremos ecuación diferencial lineal homogénea y es una ecuación diferencial separable y su solución es:
[pic 13]
Solución de la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea
La ecuación diferencial:
[pic 14]
Es separable, entonces:
[pic 15]
Agrupamos términos:
[pic 16]
Donde:
[pic 17]
Reemplazamos :[pic 18]
[pic 19]
Integramos:
[pic 20]
Integrando se obtiene:
[pic 21]
Sumando las constantes.
[pic 22]
Por propiedad logarítmica:
[pic 23]
Usando la propiedad logarítmica, tenemos:
[pic 24][pic 25]
Por propiedad cuando una constante esta elevado a la suma de dos variables , estos se pueden expresar de la siguiente manera: [pic 26]
[pic 27][pic 28]
Toda constante elevada a otra constante da como resultado otra constante. Entonces es una constante, donde será representado por K[pic 29]
[pic 30][pic 31][pic 32]
Ejemplo:
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
[pic 33]
Solución:
[pic 34]
Es separable, entonces:
[pic 35]
Agrupamos términos.
[pic 36]
Simplificamos:
[pic 37]
Integramos:
[pic 38]
Se obtiene:
[pic 39]
Sumando constantes:
[pic 40]
Por propiedad de logaritmos:
[pic 41][pic 42]
Por propiedad de exponentes:
[pic 43][pic 44]
El exp. elevado a una constante, nos resulta otra constante.
[pic 45][pic 46]
Entonces:
[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]
Donde: [pic 51]
Integrando:
[pic 52][pic 53]
se obtiene:
[pic 54][pic 55]
Ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea
Es decir, si , la ecuación (2) tomará la forma:[pic 56]
[pic 57]
Será una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea.
Solución general:
Se tiene:
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
Igualando a la forma estándar se dice que:
[pic 61]
La ecuación es de forma estándar.
Comprobamos que (1) sea exacta. Donde:
[pic 62]
Derivamos parcialmente:
[pic 63]
[pic 64]
[pic 65]
Por lo tanto (1) no es una ecuación diferencial exacta. Por ello tenemos que encontrar un factor integrante que, al ser multiplicado por la ecuación diferencial, esta se vuelva exacta. Si es un factor de integración solo de de la ecuación (1). Entonces multiplicaremos por (2).[pic 66][pic 67][pic 68]
[pic 69]
Es una ecuación diferencial exacta, por lo tanto:
[pic 70]
Efectuando:
[pic 71]
Agrupamos términos.
[pic 72]
Integramos con respecto a .[pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
Por propiedad de logaritmos:
[pic 76][pic 77]
Es nuestro factor de integración.
Reemplazando el factor de integración en (2):
[pic 78]
[pic 79]
Agrupamos:
[pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
Integrando:
[pic 83]
[pic 84]
Que es la solución general de la ecuación.
Ejemplo:
[pic 85]
Es una EDO lineal de primer grado en .[pic 86]
Remplazamos en la formula general:
...