Circuitos De Primer Orden - RL Y RC

MARCO TEÓRICO.

Desarrollo trabajo previo.

Circuito RC (resistor – capacitor) serie: se le denomina de esta forma a la combinación en serie de una resistencia con un condensador respectivamente. Dicho circuito puede representarse en cualquier conexión entre resistores y capacitores, teniendo como equivalente un circuito entre un solo resistor con un solo condensador conectados en serie. Referente al capacitor, la unidad del tiempo de carga de éste es directamente proporcional a la magnitud de la resistencia eléctrica R y la capacitancia del condensador C (ver 2.1), siendo el producto de éstos la constante de tiempo del circuito, simbolizada como τ (táu) y expresada en segundos [s].

τ[s]=R[Ω]⋅C[F]

Régimen transitorio de un circuito RC serie sin condiciones iniciales: es el comportamiento gráfico de un circuito excitado por una función escalonada V_S u(t) (ésta cumple el funcionamiento de un interruptor de paso de voltaje o corriente, según sea el caso) de una fuente constante de voltaje o de corriente, con una condición inicial V_0=0[V], teniendo como modelo matemático, una ecuación diferencial de primer orden, hallada mediante la aplicación de la ley de Kirchhoff de corriente y análisis nodal. Para demostrar esta teoría, se hizo el procedimiento algebraico explicado paso por paso, de un circuito genérico RC, éste mostrado en la figura 2.1.

Fig. 2.1. Circuito genérico RC serie.

Fuente: simulación propia en LTspice IV.

Sabiendo que:

i_C (t)=C (dv_C (t))/dt [A]

Entorno al nodo v_C, se planteó LCK de la siguiente forma:

i_R (t)=i_C (t)

Citando (2.2), considerando a (2.1) y deduciendo la expresión de la corriente en el resistor, se llegó a:

(V_S u(t)-v_C (t))/R=C (dv_C (t))/dt

(V_S u(t))/τ-(v_C (t))/τ=(dv_C (t))/dt

(dv_C (t))/dt+(v_C (t))/τ=(V_S u(t))/τ

Una vez ya hallada la (2.6) que refleja el comportamiento del voltaje en el condensador, ésta se procedió a resolverse mediante la separación de variables.

(dv_C (t))/dt=-(v_C u(t)-V_S u(t))/τ

(dv_C (t))/(v_C (t)-V_S u(t))=-dt/τ

Ya separadas las variables de tiempo de las de voltaje, se debió integrar a ambos costados del signo igual, para obtener lo siguiente:

∫_(V_o)^(v_C (t))▒(dv_C (t))/(v_C (t)-V_S u(t) )=-∫_0^t▒dt/τ

ln⁡(v_C (t)-V_S u(t))-ln⁡(V_0-V_S u(t))=-t/τ+0

Aplicando propiedades del logaritmo natural, se llegó a:

ln⁡〖(v_C (t)-V_S u(t))/(V_0-V_S u(t))〗=-t/τ

Al despejar mediante el uso de la función exponencial, se tuvo:

(v_C (t)-V_S u(t))/(V_0-V_S u(t))=e^(-t/τ)

v_C (t)-V_S u(t)=(V_0-V_S u(t))e^(-t/τ)

Así, finalmente:

v_C (t)=V_S u(t)+(V_0-V_S u(t)) e^(-t/τ) [V], t>0

v_C (t)={█(V_0 [V],&t<0@V_S u(t)+(V_0-V_S u(t)) e^(-t/τ) [V],&t>0)┤

Esto se conoce como la respuesta completa (o respuesta total) de un circuito RC conectado en serie a una aplicación de una función escalón, suponiendo que el capacitor está inicialmente cargado (ver (2.15)).

Ahora, para efectos de la experiencia de laboratorio, al con capacitores sin cargas previas, se debió asumir que la condición inicial V_0 sin magnitud, estableciéndola con 0[V]. Quedando (2.15) de la siguiente manera:

v_C (t)=V_S u(t)-V_S u(t)e^(-t/τ) [V]

Una vez ya encontrada la ecuación que muestra el comportamiento de la tensión en el condensador, se consideró también que la corriente en un circuito serial es igualitaria para todos los componentes, dejando reflejado esto en la siguiente expresión:

i(t)=i_R (t)=i_C (t)=C (dv_C (t))/dt[A]

Ya teniendo en consideración la expresión de la corriente del circuito, para el cálculo del voltaje en el resistor v_R (t) se hizo uso de la ley de Ohm.

v_R (t)=Ri(t)=Ri_R (t)=Ri_C (t)=RC (dv_C (t))/dt[V]

Luego, se dio paso a derivar v_C (t), para obtener (dv_C (t))/dt y así obtener la expresión del voltaje en la resistencia con los parámetros de (2.15).

v_C (t)=V_S u(t)-V_S u(t)e^(-t/τ) [V], t>0

(dv_C (t))/dt=V_S u(t) e^(-t/τ)/τ[V]

Entonces, se reemplazó (2.20) en (2.18), finalmente obteniendo v_R (t) de la siguiente forma:

v_R (t)=V_S u(t) e^(-t/τ) [V], t>0

Régimen permanente de un circuito RC serie sin condiciones iniciales: consiste en la región estable (régimen permanente) de la respuesta total del condensador, después de la parte transitoria del mismo. En resumen, la respuesta en estado permanente es el comportamiento del circuito mucho tiempo después de aplicada una excitación externa. Para la solución teórica algebraica del circuito, (mostrado en figura 2.1) se dio paso a la utilización de fasores, ya que en el caso de este montaje se estuvo en presencia de una fuente alterna senoidal.

v_S (t)=V_m sen⁡ωt [V], ω=2πf[rad/s]

V ̇_S=V_m∠-90°=-jV_m

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