Respuesta de circuitos RL y RC de primer orden

Capitulo 7: Respuesta de circuitos RL y RC de primer orden.

Observe que, cuando no hay ninguna fuente independiente en el circuito, la tensión Thevenin y la corriente de Norton son cero y el circuito se reduce a uno delos mostrados en la figura; es decir, tenemos un problema de determinación de la respuesta natural del circuito.

[pic 1]

La figura muestra las cuatro posibilidades de configuración general de los circuitos RL y RC.

a) Una bobina conectada a un equivalente de Thevenin.

b) Una bobina conectada a un equivalente de Norton.

c) Un condensador conectado un equivalente de Thevenin.

d) Un condensador conectado a un equivalente de Norton.

[pic 2]

Los circuitos RL y RC también se conocen con el nombre de circuitos de primer orden, porque sus tensiones y corrientes vienen descritas por ecuaciones diferenciales de primer orden. Independientemente de lo complejo que un circuito pueda parecer, si puede reducirse a un equivalente Thevenin o de Norton conectado a los terminales de una bobina o de un condensador equivalente, se tratara de un circuito de primer orden.

7.1) Respuesta natural de un circuito RL:

Todas las corrientes y tensiones han tenido el tiempo suficiente como para alcanzar un valor constante. De este modo, solo pueden existir corrientes constantes en el circuito justo antes de abrir el conmutador, por lo que la bobina aparece como un cortocircuito ( Ldi/dt=0 ) justo antes de liberarse la energía almacenada.[pic 3]

Si designamos mediante t=0 el instante en que se abre el conmutador, el problema se reduce a determinar v(t) e i(t), para t≥0.

Determinación de la corriente:

• Se utiliza la ley de Kirchhoff de las tensiones para obtener una ecuación en la que aparezcan i, R y L. Sumando las tensiones se obtiene

[pic 4]

• Haciendo cálculos diferenciales para encontrar la ecuación inicial, obtenemos una respuesta natural de un circuito RL.

[pic 5]

• Como en una bobina no hay ningún cambio instantáneo de la corriente, entonces:

[pic 6]

• Por la ley de Ohm la tensión de la resistencia seria:

[pic 7]

• La potencia disipada por la Resistencia seria:

[pic 8]

• La energía entregada a la Resistencia después de abrir el conmutador es:

[pic 9]

Constante de relajación:

• La constante   determina la velocidad con la que la corriente o la tensión se aproxima a cero su inverso se denomina constante de relajación.[pic 10]

[pic 11]

• Pasos para hacer cálculos frente a una respuesta natural

1) Calculo de la corriente inicial .[pic 12]

2) Calculo de la constante de relajación  .[pic 13]

3) Reemplazar en i(t) y v(t).

7.2) Respuesta natural de un circuito RC:

La respuesta natural de un circuito Rc úede calcular a apartir del circuito mostrado en la figura. Comenzamos suponiendo que el conmutador ha permanecido en su posición durante un largo perdiodo de tiempo, permitiendo que el lazo formado por la fuentes de tensión continua Vg, la resistencia R1 y el condensador C alcancen las condiciones de régimen permanente.[pic 14]

Un condensador se comporta como un circuito abierto en presencia de una tensión constante. Por tanto, la fuente de tensión no podrá sostener una corriente y toda la tensión de la fuente aparecerá entre los termínales del condensador. Puesto que no puede haber un cambio instantáneo en la tensión existente entre los terminales de un condensador, el problema se reduce a resolver el circuito mostrado en la figura.

[pic 15]

Calculo de la ecuación de la tensión:

Podemos calcular finalmente la tensión v(t) pensando en términos de las tensiones de nodo. Utilizando la unión inferior entre R y C como no  de referencia y sumando las corrientes que salen de la unión superior, obtenemos[pic 16]

Respuesta natural de un circuito RC:

[pic 17]

Como ya se ha indicado, la tensión inicial en el condensador es igual a la tensión de la fuente Vg, es decir,

[pic 18]

Donde Vo designa la tensión inicial del condensador. La constante de relajación del circuito RC es igual al producto de la resistencia y la capacidad:

[pic 19]

7.3) Respuesta al escalón de un circuito RL Y RC:

Respuesta al escalón de un circuito RL

Después de cerrar el conmutador, la ley de Kirchhoff de las tensiones requiere que de donde puede obtener la corriente separando las variables I y t y luego integrando

[pic 20]

Despejando   e integrando tenemos:[pic 21]

[pic 22]

Cuando la energía inicial en la bobina es cero  es cero.[pic 23]

[pic 24]

Esto indica que, después de cerrar el conmutador, la corriente se incrementa exponencialmente desde cero hasta un valor final igual   .[pic 25]

Respuesta al escalón de un circuito RC

Por comodidad, vamos a seleccionar el equivalente de Norton de la red conectada al condensador equivalente. Sumando las corrientes que salen del nodo superior.

[pic 26]

[pic 27]

Una respuesta al escalón de un circuito RC

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