Trabajo segundo orden circuitos eléctricos

1. Ejercicio

Del siguiente circuito de V=27V; R=27; L=128mH; C=750F[pic 1]

En el cual el interruptor esta normalmente abierto (es decir abierto en t-), cuando pasa a t+, podemos observar en el osciloscopio la forma de onda en el voltaje del condensador, la cual se ve de la siguiente manera:

 [pic 2]

Al evaluar el circuito antes de cerrar el interruptor, (j1 está abierto) en t = (0-), las condiciones iniciales son:

Vc (0) =0v voltaje de la fuente. iL(0)=0A.

Propiedades de los componentes

    ;       [pic 3][pic 4][pic 5]

1. tiempo en que se llega al valor máximo de la cresta

para calcular el tiempo en que se llega al valor máximo o Tp debemos usar la siguiente ecuación:

[pic 6]

Al realizar el recorrido en el circuito va a dar la respuesta transitoria    de la cual obtendremos la ecuación de segundo grado:  [pic 7][pic 8]

[pic 9]

A través de esta ecuación conseguimos:

La frecuencia natural  [pic 10]

El coeficiente de estabilidad  (con la que sabremos qué caso estamos trabajando)[pic 11]

Siendo L la inductancia y C la capacitancia.

primero calcularemos [pic 12]

[pic 13]

Y luego calcularemos  [pic 14]

[pic 15]

Como es un caso subamortiguado [pic 16]

Ahora

[pic 17]

1. Determinar la función del voltaje en el condensador.  

Para plantear la ecuación del voltaje en el condensador, es necesario conocer el valor de algunos de los elementos que intervienen en la carga del condensador, así como las condiciones iniciales del circuito y el valor final de este, así como el valor de la capacitancia del condensador en cuestión. De manera general para este problema, el voltaje del capacitor se define mediante la siguiente ecuación:

[pic 18]

Al evaluar el circuito en las condiciones iniciales (t=0-) el circuito se encuentra abierto dando como resultado Vc(0)=0 y iL=0

Para calcular “α” tenemos la ecuación *,  y para calcular “ωα” tenemos la ecuación  obteniendo:[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

Entonces:

[pic 23]

Luego de saber que el valor del voltaje en función del tiempo es una constante, podemos decir que:

[pic 24]

Por ende, de la ecuación   nos queda    dando [pic 25][pic 26][pic 27]

Ahora buscamos los valores A y B de la ecuación general

[pic 28]

Si calculamos el voltaje en condiciones iniciales cuando el interruptor esta normalmente abierto nos queda

[pic 29]

Ahora podremos obtener el valor de la contante “B”:

[pic 30]

Para calcular A sabemos que IC=IL, al evaluar la primera derivada del voltaje del condensador con respecto al tiempo, cuando este tiende a 0, obtenemos que: ; esto lo igualaremos con la primera derivada de la ecuación general:[pic 31]

[pic 32]

Por consiguiente, podemos hallar la constante que falta si sustituimos en la ecuación resultante de voltaje:

[pic 33]

[pic 34]

Obtendrendo:

[pic 35]

1. Ejercicio 2

En este circuito el estado del interruptor es abierto

[pic 36]

1. Hay que determinar las condiciones iniciales de voltaje y corriente en la bobina

Al evaluar el circuito antes de cerrar el interruptor, en t = (0-), las condiciones iniciales son:

Vc (0-) =26v voltaje de la fuente. iL(0-)=0A 

luego se cierra el interruptor y se obtiene la siguiente respuesta en el osciloscopio:  [pic 37]

1. Calcula la respuesta de la corriente en la bobina, al igual que el problema anterior deberán de calcular la función de la corriente en la bobina, con todos sus valores

Propiedades de los componentes

    ;       [pic 38][pic 39][pic 40]

Al aplicar las leyes de kirchhoff podremos obtener las siguientes ecuaciones:

  ;     ;       ;    [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

Con estas ecuaciones podremos obtener una ecuación en función de iL

     vamos a sustituir  y vamos a sustituir [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

[pic 50]

Para obtener    sustituimos la ecuación en la ecuación, despejando  y obteniendo su primera derivada[pic 51][pic 52]

...