Trabajo de ecuciones diferenciales de primer orden aplicaciones

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Tabla de contenido

I.        INTRODUCCIÓN        2

II.        DESARROLLO:        3

1.        Ecuaciones diferenciales de primer orden (EDO):        3

Ejemplo 1:        3

Ejemplo 2:        3

2.        Ecuaciones diferenciales lineales:        4

Ejemplo 1:        5

Ejemplo 2: de aplicación en circuitos Eléctricos        5

3.        Ecuaciones diferenciales de variables separables:        6

Ejemplo 1:        7

Ejemplo 1.1:        7

Ejemplo 2: Aplicación a la física        8

4.        Ecuaciones diferenciales homogéneas:        8

Ejemplo 1:        8

Ejemplo 2: Aplicado a la ingeniería (circuitos eléctricos con fuentes de Corriente continua)        9

5.        Ecuaciones diferenciales exactas:        11

Ejemplo 1:        12

Ejemplo 1.1:        12

Ejemplo 2:        12

III.        CONCLUSIÓN:        14

IV. FUENTES BIBLOGRAFICAS:        15

1. INTRODUCCIÓN

En el siguiente informe estudiaremos las ecuaciones diferenciales que han sido parte primordial de la evolución científica y tecnológica de nuestra era, marcando pauta en ramas de la ciencia como la ingeniería, astronomía, entre otros.

Para proceder al desarrollo de esta investigación primeramente debemos conocer ciertas nociones básicas que tendremos que dominar para llegar a un mejor entendimiento del tema. Para comenzar, podemos decir que las ecuaciones son simplemente una expresión algebraica en donde se cumple una igualdad de términos; ejemplo: x = 5, (5x = y), etc.

Las ecuaciones con las que normalmente hemos solido trabajar, han sido aquellas en donde debemos hallar el valor numérico de una magnitud como tal, por ejemplo cuando tenemos la ecuación: , tendríamos que hallar el valor numérico de la variable “x” y verificamos a su vez haciendo la operación: [pic 8]

Si tenemos que x = 1, al sustituir el numero por la variable “x” en la ecuación, al operar los términos nos debería dar el valor que esta después de la igualdad (3), es decir hallaremos un valor que satisfaga dicha ecuación. Y como debes imaginar el valor de x es 1, porque cuando sumamos 2 y 1 es igual a 3.

Ahora cuando nos encontramos con que la variable o incógnita es a su vez una función, nos estaremos enfrentando a una ecuación funcional, y tenemos que la clase más usual e importante de ecuaciones funcionales que sirve para determinar tales funciones son las llamadas ecuaciones diferenciales, que estas a su vez son ecuaciones en las que además de la función desconocida, aparecen también sus derivadas de distintos órdenes^[1].

Para comprender las ecuaciones diferenciales de mejor manera, debemos repasar que dada una función , su derivada   es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas. Por ejemplo:[pic 9][pic 10]

Si , entonces  que es igual a  . El problema al que nos enfrentamos ahora no es el de calcular derivadas de funciones; sino más bien, el problema consiste en: si se da una ecuación como, hallar de alguna manera una función  que satisfaga dicha ecuación. En una palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Por último tenemos que la primera clasificación que se puede dar para las ecuaciones diferenciales es dividirlas en ordinarias y parciales; clasificación que consiste en que la función incógnita dependa de una o de varias variables. Ahora pasaremos al desarrollo.

1. DESARROLLO:

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden (EDO):

Es cuando la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente. La máxima de derivada presenta será una primera derivada y’, así tenemos que son ecuaciones de la forma:

        (Forma implícita)[pic 16]

Si se puede despejar y’, se tendrá una ecuación de la forma:

         (Forma explícita)[pic 17]

Por lo tanto, las E.D.O. en forma explícita serán siempre de grado 1.

La solución general de una E.D.O. de primer orden es

[pic 18]

De manera que para obtener una solución particular de la ecuación basta con darle valor a la constante , y para ello es suficiente con fijar una condición inicial.[pic 19]

Ejemplo 1:

  Variable dependiente: y ------- Variable independiente: x[pic 20]

Es ordinaria porque solo hay derivadas con respecto a una solo variable independiente (x) y es de primer orden porque la máxima derivada presente es una primera derivada.

Ejemplo 2:

 Una de las leyes de la termodinámica de Newton dice: “La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia de temperatura  del cuerpo y la temperatura  del aire.”[pic 21][pic 22]

La velocidad de enfriamiento es la variación instantánea de la temperatura con respecto al tiempo, es decir, la derivada de la temperatura con respecto al tiempo . Por tanto, el fenómeno anterior puede describirse mediante la ecuación diferencial:[pic 23]

        Donde k es la constante de proporcionalidad[pic 24]

Solución:

Es fácil comprobar que la solución general de esta ecuación diferencial es

[pic 25]

Si imponemos la condición inicial de que en el instante inicial el cuerpo estaba a 5 °C, es decir,, tenemos[pic 26]

[pic 27]

De donde se deduce que  , y esto nos lleva a la solución particular[pic 28]

[pic 29]

1. Ecuaciones diferenciales lineales:

Una ecuación diferencial ordinaria lineal es una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse de la forma:

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Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x y que todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.

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