Dispositivos electronicos.

ESPACIOS VECTORIALES

• Espacios y Subespacios Vectoriales
• Combinación Lineal, Conjunto Generador y Espacio Generado
• Dependencia e Independencia Lineal
• Bases
• Cambio de Bases

ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

1. Ejercitación Básica:

1)  Demostrar analíticamente que el conjunto H=[pic 2] con [pic 3], es un espacio vectorial.

2)    Comprobar analíticamente que los siguientes subconjuntos de R2 no son espacios vectoriales:

1. Los vectores localizados en el primer cuadrante.
2. H=[pic 4]

3)    Demostrar que el conjunto H es un subespacio de V:

1. [pic 5] H= el plano xy.
2. [pic 6]
3. [pic 7]

4)    En cada caso, describir geométricamente el conjunto dado y determinar si es o no un subespacio vectorial justificando adecuadamente:

1. El conjunto de los vectores en ℜ3 de la forma (x; x; x) con x∈R.
2. Los puntos (x; y; z) ∈ ℜ3 tales que x = t+1; y = 2t; z = t-1    ∀t∈R.
3. El conjunto H formado por los vectores del plano (x o y); ubicados en el primer, segundo y tercer cuadrante.
4. El conjunto constituido por los vectores de la forma  (0; y; z)
5. El lugar geométrico determinado por la unión de dos subespacios cualesquiera.

5)    Determinar en cada caso, si el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales dado, es un subespacio de R3. En caso afirmativo verificar el cumplimiento de los axiomas correspondientes:

         a)    S1:[pic 8]        b)  S2:  [pic 9]       c)  S3:[pic 10]

6)    Hallar, al menos dos subespacios de R3 perpendiculares al subespacio x = y = z.

II.     Ejercitación Complementaria:

1)    Comprobar que los siguientes subconjuntos de ℜ2 no son espacios vectoriales:

a)    H= {(x; y) :  x2 + y2 ≤ 1}

b)    H= {(1; y) :  y ∈ R}

2)    Demostrar que el conjunto H es un subespacio de V:

a)    Si V= ℜm ; H={X ∈ ℜm / A.X=0}. Interpretar H.

b)    Si [pic 11] son SEV de V [pic 12] [pic 13].

c)    Si [pic 14] 

d)    Si V= ℜ3 ; H={(x; y; z) ∈ ℜ3 / x+y-z= 0}.

e)    Si V= ℜ4 ; H={(x; y; z; w) ∈ ℜ4 / x+y-z= 0}.

3)    En cada caso, describir geométricamente el conjunto dado y determinar si es o no un subespacio vectorial justificando adecuadamente:

a)    El conjunto de puntos en ℜ3 que satisface la ecuación  x + z = 1.

b)    El conjunto de puntos en ℜ3 que satisface la ecuación  x + z = 0.

c)    Los puntos de ℜ3 que satisfacen las ecuaciones  x + z = 0;  x – z = 0.

d)    Conjunto H formado por los puntos  de ℜ3 que pertenecen a la intersección de los planos coordenados (xoy) y (xoz).

e)    H = {(x; y; z) € ℜ³ / x²+y²-z = 0}

f)    H = {(x; y; z) € ℜ³ / x = z, 2x+y = 0 }

g)    el conjunto formado por los vectores (0; 0; 0) ; (1; 0; 0).

4)    Determine en cada caso, si el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales dado, es un subespacio de V En caso afirmativo verifique el cumplimiento de los axiomas correspondientes:

V= R3         a)    S1:[pic 15]                 V= R4         b)    S2:[pic 16] 

V= R3         c)    S3:[pic 17]                 V= R2         d)    S4:[pic 18] 

COMBINACIÓN LINEAL, CONJUNTO GENERADOR Y ESPACIO GENERADO

1. Ejercitación Básica:

1)   Determinar si los vectores [pic 19] generan el espacio vectorial ℜ³. Si la respuesta es negativa, describir geométricamente el espacio que generan y expresarlo algebraicamente utilizando tres conjuntos generadores diferentes.

2)    Determinar en cada caso, al menos dos espacios vectoriales generados por los vectores dados:

a)  [pic 20];                b)  [pic 21];                

c)  (1; 1; 1);                                d)  (1; -1; 1) y (-1; 1; -1);        

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