Distancia de un punto en el Plano.

Ejercicios sobre ecuación de la recta y el plano.

1. Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos P1 =(-7,1,0), P2 =(2,-1,3), P3 =(4,1,6).

- Un punto del plano

- Un vector normal u ortogonal (perpendicular) al plano.

Necesitamos dos vectores del plano. P1 P2=[9, -2, 3], P3 P2=[-2, -2,-3]

Teniendo los dos vectores, se halla el producto cruz entre ellos para obtener el vector normal.

P1 P2× P3 P2 =

i j k

9 -2 3

-2 -2 -3

=  -2 3

-2 -3

 i -  9 3

-2 -3

 j +  9 -2

-2 -2

 k = 12 i +21j-22k

- La ecuación del plano:

n·(x - P) = 0

[12, 21, -22]·[(x, y, z) - (-7, 1, 0)] = 0

[12, 21, -22]·[x + 7, y - 1, z] = 0

12 (x + 7) + 21 (y - 1) - 22 z =

12 x + 84 + 21 y - 21 - 22 z = 0

Ecuación del Plano 12 x + 21 y - 22 z + 63 = 0, 12 x + 21 y - 22 z = -63

2. Encontrar la distancia del punto (4,0,1) al plano hallado en el punto 1.

- Distancia de un punto al plano ax+by+cz=d El punto P=(x0, y0, z0) y n=[a,b,c]:

D = ax0+by0+cz0-d

a2+b2+c2

=, d = -63

D = 12 (4)+21 (0)+(-22) (1)-(-63)

122+212+(-22)2

= 48-22+63

1069

= 89

1069

= 89 1069

1069

3.

a. Ecuación del plano dados los dos vectores:

Se calcula el producto cruz entre los dos vectores para hallar el vector normal al plano.

i j k

1 1 1

-1 0 1

=  1 1

0 1  i -  1 1

-1 1  j +  1 1

-1 0  k = 1 i - 2 j + k

Vector normal: i-2j+k

Con el vector normal y un punto del plano P=(2,2,1), se halla la ecuación del plano:

n · (x - P) = 0

[1, -2, 1] · [(x, y, z) - (2, 2, 1)] = 0

[1, -2, 1] · [x - 2, y - 2, z - 1] = 0

1 (x - 2) - 2 (y - 2) + (z - 2) = 0

x - 2 y + z - 2 + 4 - 2 = 0

Ecuación del Plano x - 2 y + z = 0

b. Ecuación de la recta λ1ortogonal a π1que contiene a P.

Para la ecuación de la recta se necesita un vector paralelo a ella y este vector debe ser perpendicular al

plano, por tanto el vector normal del plano sirve como vector paralelo a la recta.

Teniendo el vector [1, -2, 1] y el punto P = (2, 2, 1) se uede hallar la ecuación de la recta, puede ser las

ecuaciones siméticas.

x-2

1 = y-2

-2 = z-1

1 ⇒ x - 2 = - y-2

2 = z - 1 donde los denominadores son el vector normal y a cada

variable se le resta la coordenada correspondiente del punto dado.

...