ECUACION DE POISSON

ECUACION DE POISSON

Historia

En 1812, fue publicada esta ecuación por parte del Físico Francés Siméon-Denis Poisson.

Fue publicado como una corrección para la ecuación diferencial parcial de segundo orden de Laplace

• Para que la ecuación sea de Laplace, debe ser el F=0

SE DENOTA COMO:  [pic 1]

La ecuación de Poisson se encuentra en las 3 dimensiones, por esta razón se expresa cartesianamente de la manera anteriormente expresada.

Abreviando la ecuación podemos usar, el operador laplaciano, para expresarlo de la siguiente manera.

 [pic 2]

• El operador laplaciano, es comúnmente usado para reducir magnitudes sobre un dominio. Dicho operador lleva ese nombre por Pierre-Simon Laplace

En transformaciones adiabáticas, una regla importante es que el calor (Q=0).

Para esto también definimos a la constante adiabática como:

[pic 3]

Para demostrar la ecuación anterior, usamos un principio básico de una ecuación adiabática.

[pic 4]

Donde, por el mismo motivo de ser adiabático, debe cumplir las siguientes condiciones.

• La diferencial del calor, debe ser igual a 0, porque por teoría, todo proceso adiabático no libera calor al exterior
• El diferencial del trabajo, es igual a la presión negativa por el diferencial de volumen
• La energía interna es la constante de volumen por diferencial de temperatura

Usando la ecuación de estado de los gases:

PV=nRT

Se puede reescribir la fórmula de la siguiente manera

[pic 5]

Reemplazando la ecuación de los gases en la formula anterior mente mostrada, obtenemos

[pic 6]

El valor n y R son tomados como constantes y siguiendo la ley de mayers. Podemos obtener que.

[pic 7]

Entonces se procede a integrar

[pic 8]

Posterior la integración y siguiendo las propiedades de los logaritmos, se procede a hacer el siguiente artificio

[pic 9]

Usando la ecuación de los gases y despejando la temperatura

Obtenemos

[pic 10]

Entonces

[pic 11]

Pasando al otro miembro a la constante m y Rp como constantes obtenemos.

[pic 12] …(La ecuación de POISSON)

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