ECUACIONES ELÍPTICAS

ECUACIONES ELÍPTICAS

Ecuación de Laplace

Como ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales elípticas, consideramos las ecuaciones de Laplace, Poisson y Helmholtz. Recordemos que la laplaciana de una función:

u(x,y) es:

∇^(2 ) u=u_xx+u_yy

Con esta notación, las ecuaciones de Laplace, Poisson y Helmhotz puede expresarse de la siguiente manera:

∇^(2 ) u=0 Ecuación de Laplace

donde ∇^2 es el operador de Laplace o "laplaciano"

que también se escribe como:

∇∙∇u=0,

donde ∇ es la divergencia, y ∇ es el gradiente

∇^(2 ) u=g(x,y) ecuación de Poisson

∇^(2 ) u+f(x,y)u=g(x,y) ecuación de Helmholtz

En este caso solo hablaremos de la ecuación en derivadas parciales de Laplace que lleva el nombre en honor al físico Simon Pierre Laplace.

Si se conocen los valores que debe tomar la función u(problema de Dirichlet) o su derivada normal ∂u(x,y)/∂N=0 (problema de Neumann) en la frontera de una región rectangular R del plano, entonces cada uno de estos problemas puede resolverse mediante la técnica numérica conocida como el método de las diferencias finitas.

La ecuación en diferencias para la laplaciana

El primer paso consiste en obtener una versión discretizada del operador de Laplace que nos permita usarlo numéricamente. La fórmula para f^'' (x) es:

f^'' (x)=(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2 +O(h^2)

así que, al aplicar esta fórmula a la función u(x,y) para aproximar u_xx (x,y) y u_yy (x,y) y sumar los resultados obtenemos:

∇^2 u=(u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)-4u(x,y))/h^2 +O(h^2)

Ahora dividimos el rectángulo R={(x,y):0≤x≤a,0≤y≤b} en (n-1)(m-1) cuadrados de lado h (o sea, a=nh y b=mh), como se muestra en la siguiente figura.

Para resolver la ecuación de Laplace, imponemos la aproximación

(u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)-4u(x,y))/h^2 =0

que tiene una precisión de orden O(h^2) en los puntos interiores de la malla (x,y)=(x_i,y_j) para i=2,3,… ,n-1 y j=2,3,… ,m-1. Como los puntos de la malla est{an espaciados uniformemente: x_(i+1)=x_i+h e x_(i-1)=x_i-h, y_(i+1)=y_i+h e y_(i-1)=y_i-h; denotando por u_(i,j) la aproximación al valor u(x_i,y_j), la ecuación anterior queda:

∇^2 u_(i,j)≈(u_(i+1,j)+u_(i-1,j)+u_(i,j+1)+u_(i,j-1)-〖4u〗_(i,j))/h^2 =0

expresión que se conoce como “fórmula de diferencias con cinco puntos para la laplaciana”. Esta fórmula relaciona el valor de la función u_(i,j) con sus cuatro valores adyacentes u_(i+1,j),〖 u〗_(i-1,j),u_(i,j+1) y u_(i,j-1), como se muestra en la figura siguiente:

Despejando h^2 del denominador en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de aproximación para la ecuación de Laplace:

u_(i+1,j)+u_(i-1,j)+u_(i,j+1)+u_(i,j-1)-〖4u〗_(i,j)=0

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