ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA: DIFERENTES TIPOS DE CIRCUNFERENCIAS.

DOCUMENTO 1. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA: DIFERENTES TIPOS DE CIRCUNFERENCIAS.

Las cónicas con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados tienen como ecuación general la siguiente expresión matemática:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Un análisis detallado de la expresión anterior nos permite determinar, dependiendo del tipo de valores que tomen las constantes en la expresión, cuando la ecuación representa una circunferencia, una parábola, una elipse o una hipérbola. ¿Bajo que condiciones ocurre esto? Esto lo veremos a continuación...

Los matemáticos han establecido las siguientes condiciones para la identificación del tipo de cónica representado por la ecuación general anterior:

1. Si tanto A como C son ambas del mismo signo e iguales en valor, la cuadrática representa una circunferencia.

2. Si A ó C (pero no ambas) es igual a 0, la ecuación representa una parábola. La forma de la parábola quedará determinada por la constante diferente de cero. Así, si A vale cero pero no C, la parábola será horizontal; si C vale cero pero no A, la parábola será vertical.

3. Si A y C son ambas positivas o negativas, pero diferentes en valor, la cuadrática representa una elipse. Dependiendo de cuál constante es la mayor, la elipse será vertical u horizontal.

4. Si A ó C son de signo contrario, la cuadrática representa una hipérbola y, al igual que en la elipse, dependiendo de cuál constante es la mayor, la hipérbola será vertical u horizontal.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA IDENTIFICACIÓN DEL TIPO DE CÓNICA PARTIENDO DE LA ECUACIÓN GENERAL QUE LA REPRESENTA

Ej. 1:

Determine cuáles de las siguientes ecuaciones cuadráticas representan una circunferencia:

a)

b)

c)

d)

Solución:

a) A = C = 9; tanto A como C son del mismo signo, por lo tanto la cuadrática representa una circunferencia.

b) Al igual que la anterior, la cuadrática representa una circunferencia (A = C = 1, A y C son positivas).

c) A y C son ambas positivas, pero de diferente valor, por lo tanto la cuadrática representa una elipse.

d) Para esta cuadrática C vale cero, por consiguiente la cónica representada por esta ecuación es una parábola. Ahora bien, observe que por ser C = 0, la parábola es vertical.

Ej. 2:

Demuestre por factorización que efectivamente las respuestas anteriores son correctas.

Solución:

a) Resolvamos por agrupación de términos la parte izquierda de la expresión matemática :

Sacando al 9 como factor común en ambos paréntesis obtenemos.

Completando los trinomios llegamos a lo siguiente:

Note que hemos completado el lado derecho de la igualdad con los productos que no teníamos originalmente, los agregamos para que la igualdad se conservara.. Simplificando las expresiones anteriores y factorizando los trinomios llegamos a:

Sacando los “nueves” como factor común de toda la parte izquierda de la expresión anterior obtenemos lo siguiente:

Despejando el 9 del lado izquierdo y pasándolo al lado derecho se eliminan denominadores de la forma siguiente:

Por último, la ecuación ordinaria de la circunferencia queda como sigue:

b) A continuación se demuestra que la cónica representada por la cuadrática es también una circunferencia. Justifique en la línea el procedimiento seguido.

Asociando términos para x e y

Completando los trinomios cuadrados

perfectos

Factorizando y simplificando las expresiones

anteriores

c) Dividiendo toda la expresión entre 36, se obtiene:

Simplificando la expresión anterior se llega a:

, la cuál no representa a una circunferencia.

d)

. Esta ecuación representa una parábola vertical cóncava hacia abajo (curva que se abre hacia abajo) como se muestra en la figura siguiente:

y

-6 -5 -4 –3 -2 -1 1 2 3

x

-1

V( )

-2

L( ) F( ) R( )

-3

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA: DIFERENTES TIPOS DE CIRCUNFERENCIAS

La ecuación general de la circunferencia Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (CASO I) puede ser transformada, mediante operaciones algebraicas básicas, en otra expresión de apariencia más simple:

x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (CASO II). Esta nueva expresión puede a su vez modificarse algebraicamente empleando la factorización. ¡Analicemos ambos procesos!

CASO I. En éste llevamos a cabo el siguiente procedimiento:

1º. Agrupamos términos: (Ax2 + Dx) + (Cy2 + Ey) = - F.

2º. Sacamos factor común en ambos paréntesis:

3º. Completamos el trinomio cuadrado perfecto en ambos paréntesis, agregando en el lado derecho de la ecuación aquello que no existía y que fue añadido con el propósito de completar los trinomios cuadrados perfectos:

+

Simplificamos al máximo el lado derecho de la igualdad, quedando:

4º. Dado que una de las condiciones para que una ecuación cuadrática represente a una circunferencia

...