ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Distancia entre puntos del plano

1. Calcule la distancia entre los puntos :

        a) P1(−4, 2)  y  P2(4, 8).                        b) P1(0, 3)  y  P2(−4, 1).

c) P1(−7, 4)  y  P2(1, −11).                        d) P1(1/3, −1/2)  y  P2(−1/6, 0).

1. Determine las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos :

a) P1(1, 2)  y  P2(5, −4).

b) P1(7/8, −1/2)  y  P2( −3/4, 5/6).

c) P1(1/3, −1/2)  y  P2(−1/6, 0).

1. Encuentre las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento P1P2 en la razón

r = [pic 1] dada en cada caso.        

        a) P1(1, 3),   P2(7, 9),   r = 1/2.

b) P1(5, −4),   P2( −1/3, 2),   r = 3/2.                

c) P1(5, −5); P2(2, −3); r = −4/3.

1. Halle la pendiente m  y la inclinación  α de la recta que pasa por los puntos dados:

a) P1(6, 1)  y  P2(1, −4).

b) P1( −3, 2)  y  P2(4, −1).

c) P1(10, −3)  y  P2 (14, −7).

1. Encuentre las coordenadas del punto que equidista de los puntos   A(3, 3),    B(6, 2)  y  C(8, −2).
2. Determine el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto (−3, 6).
3. Dos puntos distan 5 unidades del eje de coordenadas Y.   Sus distancias  al   punto   (−3, −2) son iguales a 10 unidades. ¿Cuáles son las coordenadas de esos puntos?
4. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(−4, −3)  y  B(4, 3).  Encuentre las coordenadas del vértice C que se ubica en el II Cuadrante del sistema cartesiano.
5. Demuestre que el triángulo de vértices  A(4, −1),   B(−2, 3)  y  C(−6, −3) es rectángulo.

a) Usando el concepto de pendiente.

b) Aplicando el teorema de Pitágoras.

1. Demuestre que los puntos  A(3,5),  B(1, −1)   y   C(−4, −16) son colineales.

        a) Usando distancia entre dos puntos.

        b) Aplicando el concepto de pendiente.

1. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son :

a) A(2, 3),   B(8, 7)  y   C(8, 3).

b) A(5, 4),   B(−3, 6)  y   C(−3, 4).

1. Demuestre que los puntos (2, 2), (0, −2) y (4, 0) son los vértices de un triángulo isósceles.
2. Los puntos  (1, 0),  (6, 1)  y  (4, 3) son tres vértices consecutivos de un paralelógramo.  Determine las coordenadas del cuarto vértice.
3. Encuentre e identifique el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A(1, -2)  y  B(5, 4).

Rectas en el plano

1. Determine las ecuaciones de las rectas que pasen por los puntos P(x,y) y que tengan las pendientes m  dadas:

a) Pasa por  P(−1, −2),  m = 3/4.

b) Pasa por P(0, −3),   m = −2.

c) Pasa por P(−5, 2),   m = 1.

d) Pasa por P(0, 3),   m =  −4/3.

1. Obtenga la ecuación de las rectas que pasan por los puntos dados :

a) A(−7, −2)  y  B(−2, −5).                        b) A(−4,1)   y   B(3, −5).

c) A(2, −3)    y  B(4, 2).                        d) A(0, 0)   y   B(5, −3).

1. Encuentre las intersecciones con ejes coordenados de las siguientes rectas y utilice dichos puntos para trazar su gráfica :

a)  3x – 2y - 4 = 0.

b)  2x + 3y – 10 =0.

1. Determine la pendiente m , y la inclinación α de las siguientes rectas :

a)  2x + 3y – 12 = 0.

b)  5x + 12 y = 0.

c)  4x – y + 1 = 0.

1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por C(3, 1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(3, −2)  y  D(−6, 5).
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por P(−1, −2) y es perpendicular a la recta que pasa por Q(−2, 3)  y  R(−5, −6).
3. Encuentre el valor del parámetro k de forma que la recta dada satisfaga lo pedido:

a)  3kx + 5y + k – 2 = 0   pase por el punto (−1, 4).

b)  (k – 1)x + (k + 1)y – 7 = 0   sea paralela a la recta  3x + 5y – 7 = 0.

c)  4x – ky – 7 = 0   tenga pendiente m = 3.

d)  (k – 1)x + (k + 1)y – 7 = 0    sea perpendicular a la recta  3x + 5y – 7 = 0.

1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas de ecuaciones: L’: 3x – y + 1 = 0   y   L”:  4x + 2y – 7 = 0, y sea perpendicular a la recta L’.   Grafique las tres rectas.
2. Los tres vértices consecutivos de un paralelógramo son A(−3, 1),   B(0, −2)  y  C(4, 4). Determine las ecuaciones de sus diagonales.
3. Dado el triángulo de vértices A(−2, −4),  B(10, 2)  y  C(4, 4),  encuentre la longitud de la altura correspondiente al vértice C, y el área de dicho triángulo.
4. Dos lados de un paralelógramo están dados por las ecuaciones:   x + 2y + 4 = 0    y    5x + 3 y – 1 = 0.   Si el punto de intersección de sus diagonales es  E(3, 0), encuentre las ecuaciones de los otros lados.
5. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas :

        L’ : x – 3y + 1 = 0    y    L” : 2x + 5y – 9 = 0,   y cuya distancia al origen es 5.

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