EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma donde A(x) y B(x) son polinomios de variable x , y B(x)  0.

Por ejemplo, es una expresión algebraica racional porque el numerador A(x) = 7 es un polinomio y el denominador B(x) = x  2 también es un polinomio.

También es una expresión algebraica racional .

¿Es una expresión algebraica racional?..............................................................................

La expresión x 2  9 es también racional porque x 2  9 es un polinomio y 1, su denominador, también lo es.

Simplificación de expresiones racionales

Recordamos que, dado el racional podemos hallar otros equivalentes con él: donde .

Análogamente para la expresión racional pueden hallarse expresiones racionales equivalentes: siendo N(x) cualquier polinomio no nulo.

En Z muchas veces se nos presenta el problema de encontrar la fracción equivalente más simple que una dada. Por ejemplo,

También es posible simplificar expresiones algebraicas racionales cuando existen factores comunes al numerador y al denominador, de lo contrario la expresión racional es irreducible.

Consideremos . Factorizamos su numerador y su denominador:

Entonces si x  1 y x  1

Las dos expresiones racionales, y son equivalentes para x  1 y x  1.

La expresión final es equivalente a la dada para todo valor de x que no anule el factor cancelado porque ello equivaldría a dividir por cero.

Veamos otros ejemplos:

I)

II) ¿Por qué esta igualdad es válida para cualquier número real? .......................................................................................................

Actividad:

Simplificar, indicando para qué valores de x la expresión resultante es equivalente a la dada.

a) b) c) d)

Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales

Para operar con expresiones racionales, aplicamos las mismas propiedades y técnicas que para operar con fracciones numéricas.

Adición y Sustracción

Recordamos que para sumar necesitamos hallar fracciones equivalentes a los sumandos, de igual denominador: .

Para sumar (o restar) expresiones racionales de distinto denominador, debemos sumar (o restar) expresiones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. Para hallarlo, factorizamos los denominadores y luego multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente con el que figura (mínimo común múltiplo).

Veamos el siguiente ejemplo:

Factorizamos los denominadores:

Buscamos expresiones equivalentes

con igual denominador:

Operamos en el numerador y sumamos:

El numerador no tiene

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