Ecuacione slineales

INTRODUCCION

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con varias incógnitas las cuales se satisfacen por los valores del resultado de dichas ecuaciones, son un todo conjunto de distintas ecuaciones las cuales tiene una o mas soluciones comunes entre sí.

 Los resultados característicos de resolver un sistema de ecuaciones lineales con “n” variables o incógnitas son:

• Que hay exactamente una solución.
• Que exista un número infinito de soluciones.
• El ultimo del cual no existe solución.

Posteriormente estas ecuaciones lineales se clasifican en 2 las cuales son:

• Homogéneas las cuales si = 0 para toda [pic 1][pic 2]
• No homogéneas las cuales si  es cualquier número real.[pic 3]

Ecuaciones homogéneas

Sea así un sistema de ecuaciones homogéneas de m ecuaciones lineales con n incógnitas viéndolo en discusión y solución por Gauss con termino independientes .[pic 4]

Estos se caracterizan por ser siempre compatibles, es decir, siempre hay una solución pues su rango de la matriz de coeficiente y el de la ampliada con la columna de términos independientes siempre van a ser iguales, ya que esta columna anteriormente menciona son ceros.

Ecuaciones no homogéneas

Es un sistema lineal de ecuaciones no homogéneas de m ecuaciones lineales con n incógnitas cuando:

  no sea cero.[pic 5]

METODOS DE SOLUCION

1. SUSTITUCION

Consiste en despejar una de las variables existentes, en este caso es preferible hacerlo a la que tenga un menor coeficiente, y posteriormente sustituir el resulta en la variable de otra ecuación distinta a la que ya se sustituyó.

Ejemplo:

[pic 6]

Aquí se despeja “x” siendo la variable con menor valor:

[pic 7]

Posteriormente se sustituye en las otras ecuaciones:

[pic 8]

Se realizan las operaciones:

[pic 9]

Se sustituye otro despeja otra variable:

[pic 10]

Sustituimos en la última fracción para despejar la última variable:

[pic 11]

[pic 12]

Posteriormente el resultado anterior lo colocamos donde se despejo “y”:

[pic 13]

Por ultimo y ateniendo valores de “y” y “z” sustituimos donde se despejo “x”:

[pic 14]

Y así tenemos el valor de cada variable.

1. IGUALACION

Es semejante al de la sustitución mas que en este se sustituyen las mismas variables y se igual a sí mismos

Ejemplo:

[pic 15]

Se despeja “x”:

[pic 16]

Se iguala y simplifica:

[pic 17]

Procedemos a sustituir en “x” de la ecuación que gustemos:

[pic 18]

[pic 19]

1. REDUCCION

Consiste en utilizar productos y divisiones para hacer que en las dos ecuaciones una incógnita tenga el mismo coeficiente pero diferente signo, y luego sumar las dos ecuaciones para que así esa incógnita se elimine y nos quede una sola ecuación con una incógnita.

Ejemplo:

[pic 20]

[pic 21]

Multiplicamos por -6 la primera ecuacion:

[pic 22]

[pic 23]

Ahora se suman las 2 ecuaciones y despejamos la que nos sobre:

[pic 24]

[pic 25]

Sustituimos

[pic 26]

[pic 27]

1. METODO GRAFICO

Sólo se utiliza con dos incógnitas.

Los pasos son los siguientes:

1.- Despejar “y” en las dos ecuaciones.

2.-Construir la gráfica para cada ecuación, obteniendo la tabla de valores de cada una.

3.- Representar las dos rectas en una gráfica.

• Si las rectas se cortan, el punto de corte son los valores de “x” y “y”.
• Si son la misma recta, hay infinitas soluciones que son las coordenadas de los puntos de esa recta.
• Si las rectas son paralelas, no hay soluciones reales.

Ejemplo:[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

X=44/25

Y=19/250

1. METODO DE GAUSS

Este método consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas en uno en dónde la primera ecuación tiene n incógnitas, la siguiente n-1 y así sucesivamente hasta que la última tiene sólo 1 incógnita. Para resolver se parte de la última ecuación y se van sustituyendo los valores para calcular las demás incógnitas.

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