Ecuaciones Cuadraticas

Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos, todos ellos con potencias inferiores a las de un cuadrado, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomino de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coinciden con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).

Historia

El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. El resultado también fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, aun en el caso de que las dos soluciones sean positivas). También el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones.

[editar]Fórmula cuadrática

De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática3 a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

donde el símbolo ± indica que los valores

y

constituyen las dos soluciones.

[editar]Discriminante

Ejemplo del signo del discriminante:

■ < 0: no posee soluciones reales;

■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);

■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):1998

.

Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

donde i es la unidad imaginaria.

En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.

[editar]Ecuación bicuadrática

Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

(*)

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. Si se hace el cambio de variable , las soluciones de la ecuación (*) pueden reducirse a las soluciones de una ecuación cuadrática. Si son soluciones de la ecuación:

Entonces las otras soluciones, algunas de las cuales pueden ser complejas son:

[editar]Clasificación

La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:[cita requerida]

1. Completa. Es la forma canónica:

donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.

Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejos conjugados, según el valor del discriminante

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.

2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

donde

...