Ecuaciones lineales. Solución

1. Un coleccionista de  sellos tiene un sellos de 3 centavos que es 25 años más viejo que un sello de 5 centavos. Dentro de 18 años, el sello de 3 centavos será el doble de viejo que el sello de 5 centavos entonces. ¿Cuántos  años tiene cada sello? 
   Solución: 
   Hay en el problema dos clases de sellos: de 3 centavos y de 5 centavos. 
     Edad presente           Edad futura 
   3 centavos      x  + 25  (x + 25) + 18 x +43 
   5 centavos  x                     x + 18

Ahora volvamos a leer el problema para establecer la igualdad. 
Dentro de 18 años, el sello de 3 centavos será el doble de viejo que el sello de 5 centavos 
    x + 43     =    2( x + 18)

Resolvamos 
    x + 43     =    2x + 36 
     x + -2x   =   -43 + 36 
         -  x     = -7 
             x    = 7 
Así que el sello de 5 centavos tiene 7 años y el de 3 tiene x + 25 à 7 + 25 = 32 años.

Comprobación: 
 x + 43     =    2( x + 18) 
 7 + 43    =    2 ( 7 + 18) 
          50 =  2(25) 
          50 =     50 

1. Hallar tres enteros pares consecutivos tal que tres veces el segundo es cuatro más que la suma del primero y tercero. 
   Solución:

 Primero Segundo Tercero 
     x           x + 2        x + 4

Para hacer la ecuación tenemos que leer con atención el problema. 
“tres veces el segundo    es    cuatro más que la suma del primero y tercero” 
   3(x+2)                           =                4+ ( x + x+4)

Resolvamos: 
 3(x+2) =  4+ ( x + x+4) 
 3x + 6  = 4 + 2x + 4 
 3x + 6 =  8 + 2x 
  3x + -2x =  8 + -6 
        x  =  2 
De modo que el primero es x = 2,  el segundo es x + 2 = 4 y el tercero es x+4 =6.

Comprobación: 
3(x+2) = 4 + (x +x +4) 
3(2+2) = 4 + (2 +2 + 4) 
 3(4)   =  4 + 8 
12 =  12

1. Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma es negativo 21.

Solución: 
Primero   Segundo   Tercero 
     x              x + 1       x + 2

Como la suma de los tres es   -21, la ecuación es 
         x + x+1+ x + 2 = -21

            3x + 3  =  -21 
                  3x  =   -21 + -3 
                  3x  = -24 
                  3         3

                     x = -8 
  
 

El primero, x= -8, el segundo,  x + 1 = -8 + 1 = -7   , el tercero x+ 2 = -8 + 2 = -6. 
Comprobación: 
-8 + -7 + -6 = -21 

4) La suma de tres números impares consecutivos es 51. Hallar los tres números. 
 

Solución: Como son impares consecutivos,

 Primero   Segundo   Tercero 
     x             x + 2          x + 4

Como la suma de los tres números es 51, escribimos la siguiente ecuación y la resolvemos:

       x   + x + 2 + x + 4  = 51 
      3x  + 6 = 51 
            3x  = 51 +  -6 
            3x  =  45 
            3         3

             x   =  15

   Primero x = 15,  Segundo x+ 2  = 17,  Tercero  x + 4 = 19.

Comprobación: 
15+ 17 + 19= 51 (Los tres números son impares consecutivos y suman a 51.

Ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas

Método de Eliminación por Igualación.

Ejercicio 176.

1) Resolver    x +6y = 27    ,    7x -3y = 9

>> Despejando x en   x+6y = 27

x = 27-6y

>> Despejando x en  7x-3y = 9

x = 9+3y/7

>> Formando una igualdad con los valores de x

27-6y = 9+3y/7  (Nueva ecuación)

>> Resolviendo la nueva ecuación para encontrar el valor de “y”

7(27-6y) = 1(9+3y)

189-42y = 9+3y

-42y-3y = 9-189

-45y = -180

y = -180/-45

y = 4  <– Solución

>> Sustituyendo valor de “y” en la 1° ecuación original

x +6y = 27

x +6(4) = 27

x = 27-24

x = 3  <– Solución.

Método de Eliminación por Sustitución.

Ejemplo:  Resolver el sistema 2x+5y = -24    ,     8x-3y = 19

>> Despejando el valor de x, en   2x+5y = -24

x = -24-5y/2

>> Sustituyendo el valor de x obtenido en la otra ecuación:

8x-3y = 19

8(-24-5y)/2 -3y = 19

4(-24-5y) -3y = 19

-96-20y -3y = 19

-23y = 19+96

y = 115/-23

y = -5  <– Solución.

Sustituyendo el valor de “y”  en cualquiera de las ecuaciones,

en este caso se hará en la primera ecuación:

2x+5y =-24

2x+5(-5) = -24

2x-25 = -24

x = -24+25/2

x =  1/2  <–  Solución

>> Verificando el valor de “x” y el valor de “y” obtenidos:

> 2x+5y = -24

2(1/2)+5(-5) = -25

1-25 = -24

-24 = -24 (comprobado hay identidad)

...