Introducci´on a los Sistemas de Ecuaciones Lineales

Introducci´on a los Sistemas de Ecuaciones Lineales

Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM

21 de noviembre de 2010

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ndice

1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Ecuaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Representaci´on matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Soluci´on particular y general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6. Clasificaci´on de los sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7. M´etodo de soluci´on a un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8. Manipulaci´on de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.10. Operaciones elementales de rengl´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.11. Eliminaci´on matricial contra algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.12. Comentario final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1. Introducci´on

En esta secci´on se introducen los conceptos b´asicos referentes a los sistemas de ecuaciones lineales. Definiremos

cu´ando una ecuaci´on es una ecuaci´on lineal y cu´ando se tiene un sistema de ecuaciones lineales. La matriz

aumentada del sistema se utilizar´a para representar convenientemente el total de la informaci´on del sistema

y se describir´a c´omo la manipulaci´on de ella equivale a la manipulaci´on del sistema de ecuaciones. Asimismo,

se introducir´a la idea de la estrategia de eliminaci´on gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones basado

ciertas operaciones llamadas operaciones elementales.

1.2. Ecuaci´on lineal

Definici´on 1.1

Una ecuaci´on lineal con n variables x1, x2, . . . , xn es una igualdad matem´atica que puede escribirse en la forma:

a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b (1)

Los ai se conocen como los coeficientes de la ecuaci´on, y a b se le llama el t´ermino constante. Las variables

o inc´ognitas xi representan cantidades desconocidas que se desean determinar. Si el valor de b es cero, se dice

que la ecuaci´on es una ecuaci´on homog´enea. Dada la ecuaci´on (1), a la nueva ecuaci´on

a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0 (2)

se le conoce como la ecuaci´on homog´enea asociada. Es com´un convenir en un ordenamiento de las inc´ognitas

xi; de acuerdo a ese orden, a la primera de ellas que no tenga coeficente cero se le llamar´a variable delantera,

mientras que las restantes se les llamar´an variables libres. Cuando una ecuaci´on aparece descrita como en

(1) se dice que la ecuaci´on est´a en su forma can´onica. Note que en la forma can´onica todas las variables se

encuentran en el primer miembro, mientras que los t´erminos donde ellas no aparecen quedan en el segundo.

Ejemplo 1.1

Indique cu´ales opciones contienen ecuaciones lineales:

1. −x − y = −4 − 2 x − 3 y

2. x + √2 y = 2w + 4 z

3. 5 x y + 5 z = −1 + w

4. x + 5 y + z = 5

x

5. −x − 4 y4 = z

6. 5 x + y + 5 z = 1 + 5 y

7. cos (x) + 2 y − 3 z = 1

8. 5√x + y + z = 1

Soluci´on

S´olamente las opciones 1, 2 y 6 contiene ecuaciones lineales. Los t´erminos resaltados impiden que pueda llevarse

a la forma can´onica 

Ejemplo 1.2

Indique cu´ales opciones contienen ecuaciones lineales y homog´eneas:

1. x + y + z = 1 − 4 y

2. x = w − 2 y2

3. −2 x − 3 y = 5 − 4 x − 9 y

4. x + y = w + z

5. −3 − 4 x = −3 − 3 x + 5 y

6. x + x y + z = 0

Soluci´on

S´olamente las opciones 4 y 5 contiene ecuaciones lineales homog´eneas. 2 y 6 no son lineales. 1 y 3 son lineales

pero no homog´eneas 

1.3. Sistema de ecuaciones lineales

Definici´on 1.2

Un sistema de ecuaciones simult´aneas, o tambi´en llamado un sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones

lineales. El problema de resolver tal sistema consiste en encontrar las soluciones que satisfacen simult´aneamente

todas las ecuaciones del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que puede ser

escrito en la forma:

a1 1 x1 + a1 2 x2 + · · · + a1 n xn = b1

a2 1 x1 + a2 2 x2 + · · · + a2 n xn = b2

...

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

(3)

Los n´umeros a1 1, a1 2, . . . , a1 n, a2 1, a2 2, . . . , a2 n,. . . , am1, am2, . . . , amn, son los coeficientes del sistema,

mientras que b1, b2, . . . , bm son los t´erminos constantes. Cuando todos los t´erminos constantes son cero, se dice

que el sistema es un sistema lineal homog´eneo. Un concepto que posteriormente cobrar´a importancia es el de

sistema homog´eneo asociado a un sistema lineal: es el sistema que se obtiene haciendo ceros todos los t´erminos

constantes del sistema.

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1.4. Representaci´on matricial

Una forma de abreviar la escritura de un sistema lineal y que, c´omo se ver´a posteriormente, es muy conveniente

en el proceso de soluci´on es el de la matriz aumentada. Una matriz es un arreglo rectangular de

n´umeros. Las alineaciones horizontales se llamar´an filas de la matriz, mientras que las alineaciones verticales

de llamar´an columnas de la matriz. La dimensi´on de una matriz ser´a el producto indicado del n´umero de

renglones por el n´umero de columnas de la matriz. As´ı por ejemplo, se dir´a que la dimensi´on de una matriz es

4×3, lo cual indicar´a que el arreglo rectangular tendr´a 4 renglones y 3 columnas. La posici´on de los renglones

en una matriz ser´a de arriba hacia abajo. Mientras que la posici´on de las columnas ser´a de izquierda a derecha.

Cuando se refiere al elemento (i, j) de una matriz, se refiere al elemento que est´a en el rengl´on i y en la columna

j.

Definici´on 1.3

La matriz aumentada de un sistema lineal

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