Sistema De Ecuaciones Lineales

UNIDAD III

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

3.1 DEFINICION DE SISTEMAS LINEALES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible rescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes

DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones lineales)

Diremos que un sistema de ecuaciones es LINEAL en las variables x1,x2,x3,.... si todas las ecuaciones que lo forman son lineales respecto a x1,x2,x3,... es decir son de la forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b donde a1,a2,...,an,b son números reales o bien son funciones dependientes de otras variables que no son x1,x2,...,xn.

Existen numerosos modelos económicos que suelen utilizar sistemas de ecuaciones lineales. Este hecho convierte a los sistemas de ecuaciones lineales en uno de los modelos matemáticos centrales de las economías.

Para el estudio de estos sistemas tenemos que distinguir tres partes fundamentales:

1. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

2. DISCUSIÓN DEL SISTEMA

3. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA.

Estas son las tres fases que suelen plantearse en un sistema de ecuaciones lineales. Pero antes de comentar estas fases vamos a dar algunas generalidades de lo que se entiende por un sistema lineal.

EJEMPLO.

Planteemos los siguientes sistemas de ecuaciones:

¿Son sistemas de ecuaciones lineales en las variables x e y?

Como puede observarse el primero y segundo no son sistemas de ecuaciones lineales en las incógnitas x e y, por el contrario el tercer sistema es lineal en las incógnitas x e y actuando t como parámetro del sistema.

Esta visión de los sistemas de ecuaciones lineales, nos obliga a definir que se entiende por un sistema de ecuaciones lineales:

3.2 CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCION

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:

1. Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema

2. Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución

3. Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución

¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones?

1. Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales

Ejemplo:

2. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son

Ejemplo:

3. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra

Ejemplo:

Un sistema de ecuaciones es compatible cuando tiene solución.

Un sistema de ecuaciones es compatible determinado cuando tiene solución única.

Un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando no tiene solución.

Un sistema de ecuaciones es homogéneo cuando todos sus términos independientes son cero.

3.3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado.

Es decir, que las incógnitas no estén elevadas a alguna potencia.

Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.

Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.

Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio.

Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Figura 3.1: Representación grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1 en el espacio. El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano.

En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, ´estos de pueden clasificar en:

* INCOMPATIBLES (No tienen solución)→ S.I.

* COMPATIBLES (Tienen solución)

* DETERMINADOS (Solución ´única)→ S.C.D.

* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.

3.4 METODOS DE SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUCIONES LINEALES:GAUSS, GAUSS-JORDAN,INVERSA DE UNA MATRIZ Y REGLA DE CRAMER

Podemos añadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones

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