Sistema de Ecuaciones Lineales

1.-“SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS”

Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución, compatibles.

Supongamos que tenemos la ecuación:

x+ y = 8

¿Cuántos valores posibles de “x” y de “y” harán cierta ecuación?

Dichos valores deberán cumplir que sumados den como resultado 8. Algunas parejas que satisfacen la ecuación son:

x = 6, y = 2;

x = 1, y = 7;

x = -3, y = 11.

Podemos descubrir muchos valores que cumplan con la ecuación. Con cada valor que se le asigne a una variable puedes obtener por medio de despejes el de la otra variable. Entonces tendrás dos pares de ordenados (x, y).

Estos puntos representar en el plano cartesiano y la grafica que se obtendrá será una línea recta. Por esa razón a una ecuación de primer grado (llamada así porque los exponentes tanto de “x” como de “y” vales uno) se le llama ecuación lineal de dos variables.

Decimos que un par de valores (u, v) es solución de un sistema de ecuaciones si las igualdades de ambas se cumplen cuando sustituimos x por u e y por v en cada ecuación.

Ejemplo:

Queremos comprobar si el par (2, –1) es una solución de este sistema: 4x+3y=5

X-2y=4

Sustituyendo x por 2 e y por –1, obtenemos: 4x2+3 x (-1)=5 5=5

2-2 x (-1)=4 es decir, 4=4

Las igualdades de ambas ecuaciones son ciertas, por lo que podemos afirmar que el par (2, –1) es la solución de este sistema.

Nota: el orden de los números en el par ordenado es importante. Por ejemplo, si expresamos la solución como (–1, 2) estaríamos equivocados, ya que la solución correcta es (2,-1). Esto es así porque la primera componente de un par ordenado siempre hace referencia a la x, mientras que la segunda componente se refiere siempre a la y.

2.-“interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales”

Como aprendiste en secundaria, una recta puede trazarse teniendo dos puntos. Para hacerlo más sencillo encontraremos dos valores de una línea recta ubicada en los ejes cartesianos. Estos puntos están definidos como abscisa al origen (a, 0), el cual es un punto en el que la recta corta al eje “x”, y como ordenada al origen (0, b), el cual es el punto que corta al eje “y” como se observa a continuación.

Estos se obtienen primero sustituyendo

x = 0 para obtener (0, b) y después y = 0 para obtener (a, 0).Otro ejemplo sería:

2x-3y+6=0

Primero sustituimos “x” = 0

2(0)-3y+6=0

Despejamos ahora la variable y

0 – 3y+6=0

-3y=-6

y=(-6)/3

Resultado es = 2

Por lo que el corte en el eje “y” ya esta dado en:

(0, 2)

Sustituimos “y”=0

2x-3(0)+6=0

Despejamos ahora la variable “x”

2x-0+6=0

2x=-6

X=(-6)/2

Resultado = -3

Por lo que el eje “x”es: (-3, 0)

3.- “PUNTO DE INTERSECCIÓN EN LA RECTA”

Un sistema de ecuaciones simultaneas lineales con dos incógnitas de la forma

ax + by =c

dx + ey =f

Representa gráficamente

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