Sistema De Ecuaciones Lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.

Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.

Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio.

Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Esta es la representación gráfica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el espacio.

¿Entonces que son los Sistemas de Ecuaciones Lineales?

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.

Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes.

En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.

Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Expresión matricial de un sistema

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

Tipos de sistemas

En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos se pueden clasificar en:

• Incompatibles

• S.I.

• Compatibles

• Determinados

• Indeterminados

Sistemas con dos incógnitas:

Los sistemas más sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones.

Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:

• Reducción

• Igualación

• Sustitución

Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente como una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano.

Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el sistema:

de donde y = -1 y sustituyendo x + 2•(-1) = -3, x = -1.

Es decir, la solución del sistema es única, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1):

Resolver e interpretar el sistema:

Por sustitución, como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0.

Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.

Lo expresaremos así. Como x = −2y − 3, dando valores a y se obtiene x.

Así si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la solución como:

y como λ puede ser cualquier número real, hay infinitas soluciones.

Estos son los ´únicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos incógnitas, y su interpretación geométrica.

Discusión de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo, no estamos ante un solo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor de a, y cada sistema será distinto en función del valor que tome dicha letra (llamada parámetro).

Para estudiarlo, se resuelve el sistema como habitualmente y se estudian los distintos casos que se pueden dar. Por ejemplo, por reducción:

por tanto, x(6+a) = 23. Entonces, si 6+a = 0 no podremos despejar x, es decir si a = −6, obtenemos una ecuación del tipo 0 = 23, es decir, imposible.

Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible.

En cualquier otro caso, podemos despejar x, x =23/6+a, y se puede sacar y sustituyendo, por tanto, si a _= −6, el sistema es compatible determinado.

Sistemas de 2 incógnitas y 3 ecuaciones

Podemos a˜nadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas cuantas ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o más ecuaciones.

Al aumentar el número de ecuaciones, la resolución del sistema por alguno de los tres métodos clásicos se vuelve más farragoso, por lo que conviene aplicar ya el conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema.

Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz ampliada asociada, que tendrá 2 columnas y tantas filas como ecuaciones tengamos.

Analizaremos tan sólo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incógnitas.

La matriz ampliada genérica es:

Aplicar el método de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales mediante las filas de la matriz para obtener la matriz escalonada siguiente:

Las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz (ecuaciones del sistema) son:

T1) Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.

T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo.

T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí.

Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son equivalentes al primero, es decir, tienen las mismas soluciones.

Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento a31, utilizando también la fila 1, y por ´ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de modo análogo al método de Gauss-Jordan para la inversa.

Además, es conveniente en cada paso indicar la operación realizada con las filas, poniendo en primer lugar aquella que se va a sustituir por otra.

Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los casos siguientes:

1. = 0. Entonces hay dos posibilidades:

a. = 0. Sistema incompatible (hay una ecuación del tipo 0=k), sin solución. Geométricamente, puede ocurrir

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