Ecuación diferencial con coeficientes no polinomiales
Enviado por jefferson321 • 3 de Marzo de 2015 • Tarea • 1.476 Palabras (6 Páginas) • 281 Visitas
y así sucesivamente. En consecuencia, otra solución es
yz(x)=q
[
X+$3+-1x4+-x1 5+. . . .
12 120 1
Cada serie converge para todos los valores finitos de x. n
Coeficientes no polinomiales En el ejemplo que sigue veremos cómo determinar una
solución en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario de una ecuación
diferencial, cuando sus coeficientes no son polinomios. También presentaremos una aplicación
de la multiplicación de dos series de potencias, que describimos en la sección 6.1.
Ecuación diferencial con coeficientes no polinomiales
Resuelva y” + (cos x)y = 0.
SOLUCIÓN
2 x4 x6 Yaquecosx= 1 --+z-g+” ., es claro que x = 0 es un punto ordinario.
Entonces, la solución propuesta y = c;f= 0 c,$’ da
y” + (cosx)y = 2 n(n - 1)c,x”-2 + 1 - $ + f - . ** 2 C”X”
n=2 ( . . ) n=O
= (2~ + 6~3~ + 12c4x2 + 20~5~~ + * * *)
( c o + ClX + c2x2 + c3x3 + * ’ -)
264 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES
La expresión correspondiente al último renglón tiene que ser idéntica a cero, de modo que
se debe cumplir que
2cz + co = 0, 6~ + cl = 0, 12c~+c*-;co=o, 2oc5 + c3 - ; Cl = 0,
etc. Puesto que CO y cr son arbitrarias,
yl(x)=co 1++&4-...
[ 1
Y yz(x)=q
[
x-$3+&- ***1.
La ecuación diferencial no tiene puntos singulares y, por consiguiente, ambas series convergen
para todos los valores finitos de X. n
En los problemas 1 a 14 determine dos soluciones linealmente independientes en forma de
series de potencias de cada ecuación diferencial en torno al punto ordinario x = 0.
1. y” - xy= 0 2 . yR + x2y = 0
3 . yw - 2xy’ +y = 0 4 . y” - xy’ + 2y = 0
5.y”+x2y’+xy=0 6. y” + 2xy’ + 2y = 0
7 . (x - 1)y” + y’ = 0 8 . (x + 2)y” + xy’ - y = 0
9 . (2 - 1)y” + 4xy’ + 2y = 0 10. (x” + 1)~” - 6y = 0
ll. (x’ + 2)y” + 3xy’ - y = 0 12. (x’ - 1)y” + xy’ - y = 0
13. y” - (x + 1)y’ - y = 0 14. yM - xy’ - (x + 2)y = 0
En los problemas 15 a 18 aplique el método de las series de potencias para resolver la ecuación
diferencial respectiva, sujeta a las condiciones iniciales indicadas.
15. (x - 1)~” - xy’ + y = 0, y(O) = -2, y’(O) = 6
16. (x + 1)~” - (2 - x)y’ t y = 0, y(O) = 2, y’(O) = -1
17. y” - 2xy’ + sy = 0, y(O) = 3, y’(O) = 0
18. (x” + 1)y” + 2Xy’ = 0, y(O) = 0, y’(O) = 1
En los problemas 19 a 22 aplique el procedimiento del ejemplo 7 para determinar dos soluciones
en forma de series de potencias en torno al punto ordinario x = 0 de la ecuación diferencial
respectiva.
19. y” + (sen zJy = 0
20. xy” + (sen x)y = 0 [Sugerencia: vea el ejemplo 2.1
21. y” + e-“v = 0 22.y”+ eXy’-y= 0
En los problemas 23 y 24 aplique el método de las series de potencias para resolver la ecuación
no homogénea respectiva.
23.~“-xy= 1 24. y” - 4xy’ - 4y = ex
Sección 6.3 Soluciones en torno CI puntos singulares 265
SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES
n Puntos singulares regulares de una ecuación diferencial
W Puntos singulares irregulares de una ecuación diferencial
n Existencia de una solución en forma de serie alrededor de un punto singular
n Método de Frobenius n La ecuación de indices o indicativa
W Raíces de la ecuación indicativa o de indices
En la sección anterior explicamos que no hay problema de tipo fundamental para determinar
dos soluciones linealmente independientes y en forma de series de potencias de
a&x)y” + a&)Y + U&)Y = 0 (1)
en torno a un punto ordinario x = XO; sin embargo, cuando x = x. es un punto singular, no
siempre es posible llegar a una solución de la forma y = Zr= 0 c,(x - ~0)“; sucede entonces que
podríamos llegar a una solución en serie de potencias de la forma y = Xlf= 0 c,(x - XO)‘+‘, donde
r es una constante que se debe determinar. Si r no es un entero no negativo, la última serie no
es una serie de potencias.
Puntos singulares regulares y puntos singulares irregulares LOS puntos singulares
se subdividen en regulares e irregulares. Para definirlos, ponemos la ecuación (1) en
...