El Cuerpo De Los número Reales

EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números racionales se nos hace insuficiente a la hora de representar con exactitud magnitudes tan “reales” como la diagonal de un cuadrado cuyo lado mida 1, por ejemplo, o la de una circunferencia cuyo diámetro mida 2. Ningún número racional elevado al cuadrado nos da 2, que es lo que exige el teorema de Pitágoras para el cuadrado del primer ejemplo, ni hay tampoco un número racional que exprese π, es decir, la tan conocida relación entre una circunferencia y su diámetro.

Por estas y otras razones se nos hace necesario ampliar el conjunto de los números racionales y llega el momento de introducir los llamados números reales. Pero, nos introducimos a este tema desde un punto de vista axiomático, interesándonos deducir las diversas propiedades en R, a través de un razonamiento lógico- matemático, a partir de los axiomas.

DEFINICIÓN

El conjunto de los números reales, denotado por R, es un conjunto cuyos elementos se llaman números reales, en el cual se definen dos operaciones llamadas suma o adición y producto o multiplicación.

Esto es:

+ ∶ R×R → R

(x,y) ⟼ x+y

∙ ∶ R×R → R

(x,y) ⟼ x∙y

Esas operaciones verifican los siguientes axiomas:

Axioma 1: Conmutatividad

Para cualesquiera x,y∈R se tiene:

x+y=y+x

x∙y=y∙x

Axioma 2: Asociatividad

Para cualesquiera x,y,z∈R se tiene:

(x+y)+z=x+(y+z)

(x∙y)∙z=x∙(y∙z)

Axioma 3: Elementos Neutros

En R existen ciertos números denotados por la letra e que no afectan el resultado de la operación adición o multiplicación.

Para cualquier x∈R se tiene:

x+e=x

x∙e=x

Todo elemento e que cumpla esta propiedad se dirá neutro.

Para decir que el número 0 es el neutro para la adición; y que el número 1, lo es para la multiplicación; debe demostrarse la unicidad o existencia de un único elemento neutro en cada caso.

Axioma 4: Inversos

Todo x∈R posee un inverso aditivo -x∈R tal que:

x+(-x)=0

Y si x≠0, se tiene el inverso multiplicativo x^(-1)∈R tal que:

x∙x^(-1)=1

Para decir que el número -x es el inverso (opuesto) de x para la adición, y que el número x^(-1) es el inverso (recíproco) de x para la multiplicación; debe demostrarse la unicidad o existencia de un único inverso en cada caso.

Axioma 5: Distributividad

Para cualesquiera x,y,z∈R se tiene:

x∙(y+z)=x∙y+x∙z

Con los 5 axiomas enunciados anteriormente, se dice que R con las operaciones + y ∙ forma un Cuerpo, que denotaremos como ( R ,+ ,∙ ).

Por

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