El concepto de la regla de la cadena

Regla de la cadena

Definición.- Supongamos que f : D ⊂ Rn → R es una función diferenciable en (x1,x2,…,xn) tal que u = f(x1, x2,…, xn) y que cada xi es una función de m variables y1, y2, …, ym es decir xi = x(y1, y2,…, yn), ∀i = 1, 2, 3, …, n, entonces:

∂u/ ∂ym = ∂z/( ∂x_1 ) . ( ∂x_1)/( ∂y_m )+ ∂u/( ∂x_2 ). ( ∂x_2)/( ∂y_m )

Ejemplo:

Hallar ∂z/ ∂t , si z = x2 + y2 , x = et , y = e-t

Solución:

S

X

z

y

t

∂z/ ∂t = ∂z/ ∂x. ∂x/ ∂t+ ∂z/ ∂y. ∂z/ ∂t = 2x. et + 2y(-e-t) = 2 e2t - 2 e-2t

∂z/ ∂t = 2 e2t - 2 e-2t

Ejercicio 1

Si ω=f(x,y,z) = χ²¬ + y² + z² , x= er cost, y=ersent, z=et

Calcular: (∂ ω)/(∂ r) y (∂ ω)/∂t

Solución:

Aplicando la regla de la cadena:

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