Electronica

1. Actividad Teórica.

Ejercicio 1. El sistema que se muestra a continuación ilustra el control por computador de un robot que pulveriza pintura en automóviles.

El diagrama de bloques del sistema es mostrando a continuación:

Donde

Obtenga el compensador requerido para obtener un margen de fase de 45 grados. Suponga T = 0.001 segundos.

Obteniendo , empleando la técnica del muestreador y el retenedor de orden cero.

Usando la tabla de transformadas se obtiene la transformada solicitada, donde se reemplaza y

Reemplazando tenemos

Realizando las simplificaciones tenemos la función de transferencia pulso de la planta precedida del retenedor de orden cero

A continuación realizamos la transformación de la función de transferencia pulso en una función de transferencia mediante la transformación bilineal:

Esto es

Reemplazando en tenemos:

Tomando en cuenta la penúltima ecuación de , podemos dibujar la respuesta de frecuencia con la ayuda de Matlab.

num = [ -1052595845578763371, -6313470177653831958836000, 12631150738689978971156000000];

den = [315778873726708104191538384, 631557536934237230304000000, 0];

sys = tf(num,den);

margin(sys)

grid

Si observamos la figura anterior vemos que el sistema actual tiene un margen de fase de 17.8 grados. Como se requiere un ángulo adicional de adelanto de fase para satisfacer el requisito de 45º sin cambiar el valor de K, de 45º - 17.8º = 27.2º, el compensador de adelanto debe de contribuir con el ángulo de fase requerido. Debido a que existirá un corrimiento hacia la derecha en la frecuencia de cruce debido al aporte del compensador, se debe sumar un ángulo de entre 5 y 12 grados adicionales al del compensador. Entonces el ángulo del compensador será de 39º. Con este ángulo se procede a calcular el valor de del compensador.

Con el valor anterior se procede a calcular la magnitud de la respuesta de frecuencia a la cual ocurre la máxima contribución de fase del compensador

Luego se busca en el gráfico de la frecuencia a la cual se tiene esta ganancia | ; es decir, Dicha frecuencia puede ser encontrada usando Matlab, ya que podemos acercarnos a la grafica y hacer clic sobre la grafica para observar los valores, como se puede ver en la siguiente figura.

Se encuentra entonces que la frecuencia es . Finalmente, se calcula el valor de .

Entonces

Debido a que el compensador a utilizar tiene la siguiente forma general,

El compensador es entonces,

Ejercicio 2. La función de transferencia pulso de un sistema es:

Con T = 0.01 segundos y segundos. (a) Encuentre K de tal manera que el sobreimpulso sea menor que 40%. (b) Determine el error en estado estacionario en respuesta a una entrada rampa unitaria. (c) Determine K para minimizar la integral del cuadrado del error.

(a)

(b)

(c)

Ejercicio 3. La ecuación característica de un sistema muestreado es

Encuentre el rango de estabilidad para K.

Podemos utilizar el test de Jury, ya que tenemos la ecuación característica en forma de polinomio. La matriz del test tendría un número de filas 2n -3, siendo n el grado del ecuación característica .

Ahora vamos a comprobar las condiciones del test para comprobar la estabilidad según los valores de K y la ecuación característica.

a) . Tenemos que comprobar que el valor de la ecuación característica evaluado en es mayor que 0.

b) , tenemos que comprobar que -1 elevado al grado de la ecuación multiplicado para la ecuación evaluada en es mayor que 0.

c) , es el primer valor del polinomio y es el último, por lo tanto se verifica la condición dado que

Finalmente acotamos el valor de K para que cumpla las 3 inecuaciones obtenidas.

a)

b)

c)

Las que condicionan el valor de K son las ecuaciones a) y b), para que K sea estable.

Ejercicio 4. Un sistema con realimentación unitaria, como el que se muestra a continuación

Tiene una planta

Con T = 0.5. Determine si el sistema es estable cuando . Determine el máximo valor de para mantener la estabilidad.

De la tabla de transformadas

Reemplazando tenemos

La función de transferencia pulso del sistema es

La ecuación característica de un sistema es el denominador de la función de transferencia en lazo cerrado.

Utilizando el criterio de Jury

1)

2)

El intervalo de estabilidad esta proporcionada por el intervalo

2. Actividad Práctica

Ejercicio 1. Considere el sistema realimentado mostrando a continuación

Sea

y

De acuerdo al diagrama de bloques tenemos

Substituyendo tenemos la función de transferencia

El lugar de las raíces estará determinado por la ecuación:

El rango de estabilidad se determina si se cumplen las condiciones

1)

...