En un tiempo

1. Lee y analiza el planteamiento. Analiza el siguiente problema y de acuerdo con lo que has revisado en las unidades anteriores, desarrolla y responde el planteamiento, además de explicar tu solución paso a paso.

Una asociación contra el cáncer de niños se encarga de recolectar tapas desechables con el propósito de venderlas y así obtener una cantidad de dinero extra para continuar con su labor.

Según su estadística, la ecuación que representa el número de tapas a recolectar es la siguiente f(x)= -x2 + 12x donde f(x) señala la cantidad de tapas recolectadas y "x" representa el tiempo en semanas. Ligado a esto, la asociación ya cuenta con 30,000 tapas que ha recolectado por su cuenta.

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Realiza la gráfica que representa la ecuación, y responde las siguientes preguntas:

a) ¿En qué momento se recolecta el máximo número de tapas? ¿Cuántas tapas se recolectan?

Tenemos nuestra función inicial:

f(x)= -x² + 12x

Al compararla con la ecuación cuadratica f(x) = ax² +bx + c:

a = -1                b = 12                c = 0

Para encontrar nuestras coordenadas máximas en y usamos v(h,k):

[pic 1]

[pic 2]

v(6,36)

Por lo anterior tenemos que el momento en el que se recolectan el numero maximo de tapas es en la semana 6, y la cantidad de tapas que se recolectan es de 36000.

b) ¿En qué momento ya no se recolectan tapas? Justifica tu respuesta, desarrollando la formula y no olvides que los resultados son en miles.

Formula:

[pic 3]

Maximo:

[pic 4]

Minimo:

[pic 5]

De lo anterior tenemos que ya no se recolectan tapas en la semana 12, lo que nos reflejan los resultados anteriores es que la parabola va a empezar en el punto 0 de x y va a terminar en el punto 12 de x.

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c) ¿Cuál es la relación que existe entre el tiempo y el número de tapas que se juntaron?

f(x) = -x² + 12x = 0

Esta función representa a x como la semana inicial de la recolección, y determina como avanza la en el tiempo, teniendo en cuenta que al principio no hay tapas y al final tomamos en cuenta las que tiene la asociación.

d) ¿Cuál sería el total de tapas en el punto máximo, en conjunto con lo ya obtenido por la asociación con anterioridad?

Aquí debemos de sumar las cantidades que se recolectan en cada punto de x:

11+20+27+32+35+36 = 161

Ahora multiplicamos por mil y sumamos lo que ya tenía la asociación:

(161 * 1000) + 30000 = 191000

El total de tapas en el punto máximo sería de 191000.

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Obtén la ecuación de la recta secante a partir de la función derivada (de la que ya te fue dada anteriormente) y el valor de su pendiente. Luego, intégrala en la misma gráfica anterior y responde (en un audio) a la siguiente pregunta:

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