Ensayo De Resistencia De Materiales

7.1 INTRODUCCION

En la sección 1.12 se estudio que el estado mas general del esfuerzo de un punto dado Q puede representarse por seis componentes. Tres de estas, σ_(x,) σ_(y ) y σ_(z,)definen los esfuerzos normales ejercidos sobre las caras de un elemento cubico centrado en Q y con la misma orientación de los ejes coordenados (figura 7.1 a) y las otras tres 〖τ 〗_(xy,) 〖τ 〗_(yz,) y 〖τ 〗_(zx,,)las componentes de los esfuerzos cortantes del mismo elemento. Como se observo entonces, el mismo estado de esfuerzos se representara mediante un conjunto diferente de componentes si se giran los ejes (figura 7.1 b). En la primera parte de este capitulo se va a determinar como se transforman las componentes de los esfuerzos cuando se giran los ejes coordenados. En la segunda parte del capitulo se realizara un análisis similar de la transformación de los componentes de la deformación.

Figura 7.1

b) Figura 7.2

El análisis de la transformación de esfuerzos tratara principalmente con el esfuerzo plano, es decir, con una situación en la cual dos caras del cubo están libres de esfuerzo. Si el eje z se elige perpendicular a estas caras, se tiene σ_z= 〖τ 〗_zx= 〖τ 〗_(yz )=0 , y las únicas componentes restantes son σ_(x,) σ_(x ) y 〖τ 〗_xy(figura 7.2). Tal situación ocurre en una placa delgada sometida a fuerzas que actúan en su plano medio (figura 7.3). También ocurre en la superficie libre de un elemento estructural o elemento de maquina, es decir, en cualquier punto de la superficie de ese elemento o componente que no esta sujeto a una fuerza externa (figura 7.4).

Figura 7.3 Figura 7.4

Considerando (sección 7.2) un estado de esfuerzo plano en un punto dado Q caracterizado por los esfuerzos σ_(x,) σ_(y ) y 〖τ 〗_xy asociados con el elemento mostrado en la figura 7.5ª, se aprenderá a determinar los componentes σ_(x´,) σ_(y´ ) y 〖τ 〗_(x´y´) asociada con ese elemento después que ha girado un ángulo ɵ alrededor del eje z (figura 7.5b). En la sección 7.3 se definirá el valor ɵ_p de ɵ para el cual los esfuerzos σ_(x´ ) y σ_(y´ ) son, respectivamente, máximos y mínimos; estos valores del esfuerzo normal son los esfuerzos principales en el punto Q y las caras del elemento correspondiente definen los planos principales de esfuerzo en ese punto. También se establecerá el valor de ɵ_s del ángulo de rotación para el cual el esfuerzo cortante es máximo, así como el valor de dicho esfuerzo.

Figura 7.5

En la sección 7.4 se presentara un método alternativo para la solución de problemas que implican transformación de esfuerzo plano, basado en el uso del círculo de Mohr.

En la sección 7.5, se estudiara un estado del esfuerzo tridimensional en un punto dado y se desarrollara una ecuación para el cálculo del esfuerzo plano normal en un plano de orientación arbitraria en ese punto. En la sección 7.6 se analizaran las rotaciones de un elemento cubico con respecto a cada uno de los ejes principales de los esfuerzos y se aprenderá que las transformaciones pueden describirse mediante tres círculos de Mohr diferentes.

Se observará también que, en el caso de un estado de esfuerzo plano en un punto dado, el máximo valor del esfuerzo cortante, obtenido antes considerando rotaciones en el plano de esfuerzo, no presenta necesariamente el esfuerzo cortante máximo en ese punto. Eso llevara a considerar la diferencia entre esfuerzo cortante máximo en el plano y fuera del plano.

Varios criterios de fluencia para materiales dúctiles sometidos a esfuerzo plano se desarrollaran en la sección 7.7. Para predecir si un material fluimi en algún punto critico, en condiciones de cargas dadas, se determinaran los esfuerzos principales σ_a y σ_(b )en ese punto y se verificara si σ_a y σ_(b ), y el limite de fluencia σ_⥾ del material satisfacen alguno de esos criterios. Dos criterios comunes son: el criterio de la máxima resistencia a cortante y el criterio de la máxima energía de distorsión. En la sección 7.8 se desarrollaran en forma similar, criterios de fractura para materiales frágiles sometidos a un esfuerzo plano; ellos agruparan los esfuerzos principales σ_a y σ_(b ) en algún punto critico y la resistencia ultima σ_u del material. Los dos criterios que se analizaran son: el esfuerzo normal máximo y el criterio de Mohr.

Los recipientes a presión de pared delgada son una importante aplicación del análisis de esfuerzo plano. En la sección 7.9 se analizaran los esfuerzos en recipientes cilíndricos y esféricos (véanse figuras 7.6 y 7.7).

Figura 7.6 Figura 7.7

En las secciones 7.10 y 7.11 se examina la transformación de deformación plana y el círculo de Morh para la deformación plana. En la sección 7.12 se vera el análisis tridimensional de la deformación y como pueden usarse los círculos de Morh para determinar la deformación por cortante máximo en un punto dado. Dos casos particulares son de especial interés y no deben confundirse: el caso de deformación plana y el caso de esfuerzo plano.

Finalmente, en la sección 7.13 se analizara el uso de galgas extensiometricas para medir la deformación normal en la superficie de un elemento estructural o componente de maquina. Se vera como las componentes ϵ_x,ϵ_y falta que caracterizan un estado de deformación en un punto dado, pueden calcularse a partir de las medidas efectuadas en tres galgas extensiometricas que forman una roseta de deformación.

7.2 TRANSFORMACION DE ESFUERZO PLANOI

Suponga que existe un estado de esfuerzo plano en el punto Q (con σ_z= 〖τ 〗_zx= 〖τ 〗_(yz )=0), y definido por las componentes σ_(x,) σ_(y ) y 〖τ 〗_xy, asociadas con el elemento de la figura 7.5a. Se pide determinar las componentes del esfuerzo σ_(x´,) σ_(y´ ) y 〖τ 〗_(x´y´) asociadas con el elemento después que ha girado un ángulo ɵ con respecto al eje z (figura 7.5b), y expresar estas componentes en función de σ_(x,) σ_(y ) y 〖τ 〗_xy y ɵ.

Figura 7.5 (repetida)

Con el objeto de determinar el esfuerzo normal σ_(x´,) y el esfuerzo cortante 〖τ 〗_(x´y´) ejercidos sobre la cara perpendicular al eje x^´, se estudiara un elemento prismático con caras respectivamente perpendiculares a los ejes x,y x^’ (figura 7.8ª). Observe que si el área de la cara oblicua es ΔA, las áreas de las caras vertical y horizontal son, respectivamente, iguales a ΔA cos ɵ y ΔA sen ɵ. De ahí se sigue que las fuerzas ejercidas sobre las tres caras son las que muestra la figura 7.8b. (no se ejercen fuerzas sobre las caras triangulares del elemento, pues los esfuerzos normales y cortantes correspondientes se han supuesto nulos). Usando componentes a lo largo de los ejes x^’ y y^’, se escriben las siguientes ecuaciones de equilibrio:

Figura 7.8

∑F_(x^’ ) = 0; σ_(x^’ ) ΔA - σ_x (ΔA cos ɵ) cos ɵ - 〖τ 〗_xy(ΔA cos ɵ) sen ɵ

- σ_y (ΔA sen ɵ) sen ɵ - 〖τ 〗_xy(ΔA sen ɵ) cos ɵ =

∑F_(y^’ ) = 0; 〖τ 〗_(x´y´) ΔA + σ_x (ΔA cos ɵ) sen ɵ - 〖τ 〗_xy(ΔA cos ɵ) cos ɵ

-σ_y (ΔA sen ɵ) cos ɵ - 〖τ 〗_xy(ΔA sen ɵ) sen ɵ =

Resolviendo la primera ecuación para σ_(x^’ ) y la segunda para 〖τ 〗_(x´y´), se tiene:

σ_(x^’ ) = σ_x 〖cos〗^2 ɵ + σ_y 〖sen〗^2 ɵ + 2 〖τ 〗_xy sen ɵ cos⁡ɵ (7.1)

〖τ 〗_(x´y´)= - (σ_x- σ_y) sen ɵ cos⁡ ɵ+ 〖τ 〗_xy (〖cos〗^2 ɵ- 〖sen〗^2 ɵ) (7.2)

Recordando las relaciones trigonométricas

〖sen 2〗⁡ɵ=2 sen ɵ cosɵ cos2 ɵ=〖cos〗^2 ɵ- 〖sen〗^2 ɵ (7.3)

〖cos〗^2 ɵ= (1+cos⁡〖2 ɵ〗)/2 〖sen〗^2 ɵ = (1-cos⁡〖2 ɵ〗)/2 (7.4)

la ecuación (7.1) se escribe como sigue:

σ_(x^’ )= σ_x (1+cos⁡〖2 ɵ〗)/2+ σ_y (1-cos⁡〖2 ɵ〗)/2 + 〖τ 〗_(xy ) 〖sen 2〗⁡ɵ

σ_(x^’ )= (σ_x+σ_y)/2+ (σ_x-σ_y)/2 〖cos 2〗⁡〖ɵ+〖τ 〗_(xy ) 〖sen 2〗⁡ɵ 〗 (7.5)

Usando las relaciones (7.3) se tiene la ecuación (7.2) como

〖τ 〗_(x´y´)= - (σ_x-σ_y)/2 〖sen 2〗⁡ɵ+ 〖τ 〗_(xy ) cos⁡〖 2ɵ〗 (7.6)

la expresión para el esfuerzo normal σ_(y^’ ) se obtiene remplazando ɵ en la ecuación (7.5) por el ángulo ɵ + 90º que el eje y^' forma con el eje x. Como cos⁡〖2 ɵ+180°)= -cos⁡〖 2ɵ〗 y sen (2ɵ+180°)= - 〖sen 2〗⁡ɵ 〗, se tiene

σ_(y^’ )= (σ_x+σ_y)/2- (σ_x-σ_y)/2 〖cos 2〗⁡〖ɵ-〖τ 〗_(xy ) 〖sen 2〗⁡ɵ 〗 (7.7)

sumando miembro a miembro las ecuaciones (7.5) y (7.7)

σ_(x´ )+ σ_(y´ )= σ_(x )+ σ_(y ) (7.8)

Como σ_(z )= σ_(z´ )=0, se verifica que la suma de los esfuerzos normales ejercidos sobre un elemento cubico de material es independiente de la orientación del elemento.

7.3 ESFUERZOS PRINCIPALES.

ESFUERZO CORTANTE MAXIMO

Las ecuaciones (7.5) y (7.6) obtenidas en la sección precedente son las ecuaciones paramétricas de un círculo.

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