Ensayo sobre Carta de Smith

Abstract. En este documento se habla sobre la carta o diagrama de Smith, se explicará su forma de construcción y se abarcará algunas de las ventajas que tiene la aplicación de este método gráfico para reducir y hacer más sencillo el desarrollo de los cálculos aplicados en líneas de transmisión y los acoplamientos de impedancias para estas.

Introducción.

Existen varios métodos de ayudas gráficas para el diseño, acoplamiento y solución de problemas en líneas de transmisión, que han ido evolucionando con el tiempo. Para pequeñas longitudes de onda y bajas pérdidas son complicadas de usar, por lo cual se recurrió a otras ayudas gráficas como la carta de Smith diseñada en 1940 por Philips Smith. La Carta de Smith, es la superposición de dos diagramas; uno representa el plano complejo del coeficiente de reflexión y sobrepuesta una malla que representa Impedancias o Admitancias Normalizadas.

Desarrollo de la carta de Smith.

Cualquier valor de Impedancia puede representarse en la Carta de Smith, la única condición es que el valor de la Impedancia debe normalizarse; es decir, el valor de la Impedancia debe dividirse por el valor de la impedancia característica de la línea de transmisión. [pic 1][pic 2]

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El coeficiente de reflexión en los terminales de carga de una línea de transmisión es un número complejo cuyo módulo no supera la unidad para terminaciones pasivas.[pic 5]

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A partir de esta comprobación, el sector circular del plano complejo definido por la variable compleja , tal que , debe contener todos los valores complejos de  correspondientes a todos los valores posibles de impedancia normalizada . La impedancia normalizada barre todo el plano complejo, en donde los lugares geométricos equi-RN y equi-XN son simplemente rectas paralelas a los ejes real e imaginario, respectivamente. Ese mismo plano complejo es cubierto por el coeficiente de reflexión . Sin embargo, entre ambas variables complejas existe la relación:[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

Si los valores de impedancia normalizada () se expresan en función de  =  () y  =  (), los lugares geométricos rectilíneos equi-RN y equi-XN, en el dominio (), se transforman en circunferencias en el plano complejo de la variable (). La Carta de Smith se obtiene, precisamente, trazando algunos de los lugares geométricos de  y , en el plano complejo de la variable , utilizando como base la Ecuación (4).[pic 27][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Lugar geométrico de la resistencia normalizada,=  ().[pic 28][pic 29][pic 30]

De la ecuación (4) se obtiene la siguiente ecuación:

[pic 31]

La Ecuación (5) representa la familia de los lugares geométricos de todos los valores posibles de  en el subespacio complejo barrido por las variables u y v. Representa una familia de circunferencias centradas en  y de radio  .[pic 35][pic 32][pic 33][pic 34]

Trazado del lugar geométrico Equi- RN.

Para trazar el lugar de algún valor de es conveniente “retocar” la Ecuación. (5) seleccionando, a conveniencia, una de las variables u y v como independiente y la restante como dependiente, y fijando  como parámetro. Luego, definiendo un intervalo de valores para la variable independiente se procede a trazar las curvas con los valores correspondientes de la variable dependiente obtenidos para un conjunto de valores prefijados del parámetro , cuidando de que las curvas no salgan del círculo unitario. Ejemplo:[pic 36][pic 37][pic 38]

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Figura 1. Ejemplo de centros y radios de círculos correspondientes a resistencias normalizadas.
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Figura 2. Trazado de circulos de resistencias normalizadas sobre el plano complejo u + jv del coeficicnete de reflección.

Lugar geométrico de la reactancia normalizada,  =  ().[pic 41][pic 42][pic 43]

De la ecuación (5) se obtiene la siguiente ecuación:[pic 44]

[pic 45]

La Ecuación (6) representa la familia de los lugares geométricos de todos los valores posibles de  en el subespacio complejo barrido por las variables u y v. Representa una familia de circunferencias centradas en  y de radio .[pic 46][pic 47][pic 48]

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