Espacios Euclidianos

Espacios euclidianos

La idea de distancia en [pic 1][pic 2]es un concepto fundamental, tanto para el estudio de las propiedades geométricas de [pic 3][pic 4]así como también para el estudio del cálculo ya que los conceptos básicos relacionados con esta materia, conceptos tales como límites, continuidad, diferenciabilidad, integrabilidad, etc, de una u otra manera están relacionados con la noción de distancia (al menos en el espacio [pic 5][pic 6]). Comenzaremos definiendo en primer lugar el espacio usual sobre el cual trabajaremos, esto es el espacio vectorial [pic 7][pic 8]cuyos elementos los denominaremos usualmente vectores. Luego definiremos dos nociones básicas que se relacionan con estos vectores: la norma de un vector y el producto interior entre vectores. Finalmente daremos, en base a este concepto de norma, nuestra definición de distancia. El espacio [pic 9][pic 10], junto con su estructura de espacio vectorial, su producto interior, su norma y su distancia, forman una estructura conocida como el espacio euclídeo [pic 11][pic 12]. 

Espacios vectoriales de dimensión finita

El espacio vectorial [pic 13][pic 14], el cual para mayor simplicidad denotaremos simplemente por [pic 15][pic 16](se pronuncia erre-ene) es el conjunto formado por las [pic 17][pic 18]-uplas o [pic 19][pic 20]-arreglos ordenados [pic 21][pic 22]de números reales. Estos arreglos los denotaremos por letras destacadas, como por ejemplo [pic 23][pic 24]Así, escribiremos: [pic 25][pic 26]
[pic 27]

Asociado a este conjunto de arreglos consideraremos dos operaciones algebraicas: la operación suma, definida de la manera usual:
[pic 28]

y la operación producto por escalar:

[pic 29]

la cual anotaremos simplemente como [pic 30][pic 31]vale decir, sin el punto ''[pic 32][pic 33]'' (no confunda el producto por escalar con el concepto de producto interior entre vectores que veremos más adelante). El conjunto [pic 34][pic 35]junto con estas dos operaciones suma y producto por escalar, con ambas operaciones sujetas a las propiedades algebraicas usuales, forman lo que se conoce como el espacio vectorial [pic 36][pic 37]. Las operaciones algebraicas asociadas sólo con la suma son:

[pic 38]

Las propiedades algebraicas asociadas con la suma y el producto por escalar son:

[pic 39]

Es costumbre hablar del ''espacio'' [pic 40][pic 41]a pesar que el espacio vectorial (usual) [pic 42][pic 43]consiste del conjunto [pic 44][pic 45]propiamente tal y las dos operaciones algebraicas mencionadas anteriormente, sin embargo, por comodidad nosotros también seguiremos esta práctica. Observe que el conjunto [pic 46][pic 47]también puede ser escrito del siguiente modo:

[pic 48]

Más aún, cuando escribamos [pic 49][pic 50]no sólo entenderemos que este espacio es un espacio vectorial, sino que además es un espacio euclídeo como ya se indicó anteriormente.

Norma y distancia

Definition

1. Si [pic 51][pic 52]es un vector en [pic 53][pic 54]diremos que su norma es el número [pic 55][pic 56]definido por:
   [pic 57]

valor que corresponde a la distancia medida desde el origen del sistema hasta el punto cuyas coordenadas son [pic 58][pic 59]o dicho de otro modo: corresponde a la longitud del vector [pic 60][pic 61]

1. Diremos que la distancia euclidiana entre los vectores [pic 62][pic 63]e [pic 64][pic 65]dados por:
   [pic 66]

es el valor [pic 67][pic 68]definido por:
[pic 69]

Remark

1. Observe que hemos hablado del vector [pic 70][pic 71]pertene-cien-te al espacio vectorial [pic 72][pic 73]y del punto [pic 74][pic 75]del espacio cartesiano [pic 76][pic 77]. A pesar que estos dos objetos se describen del mismo modo, vale decir por el n-arreglo [pic 78][pic 79]ellos representan objetos conceptualmente distintos: en el primer caso, el vector [pic 80][pic 81]es un objeto matemático que puede ser representado por medio de una flecha libre en el espacio cartesiano [pic 82][pic 83](recuerde la expresión vectores libres).

Por ejemplo el vector [pic 84][pic 85]puede ser representado por medio de una flecha que parte (por ejemplo) del punto [pic 86][pic 87]y termina en el punto [pic 88][pic 89], pero del mismo modo también puede ser representado por la flecha que parte del punto [pic 90][pic 91]y termina en el punto [pic 92][pic 93]Este vector [pic 94][pic 95]usualmente lo representaremos mediante una letra en ''negrita'' o a través de un medio más descriptivo como flechas. Por ejemplo escribiremos [pic 96][pic 97]ó [pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]o también [pic 102][pic 103]Cualquiera de estas notaciones representa el mismo vector.

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