Estadistica descriptiva.

Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández[pic 1][pic 2]

EJERCICIOS RESUELTOS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández[pic 3]

EJERCICIOS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Ejercicio 1.-  El  30%  de un determinado pueblo ve un concurso que hay en televisión. Desde el concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo elegidas al azar. Calcular la probabilidad de que, entre las 10 personas, estuvieran viendo el programa:

a)  Más de ocho personas

b)  Algunas de las diez personas

c)  Calcular la media y desviación típica

Solución:

Se trata de una distribución binomial con n = 10 y  p = 0, 3 , es decir,

b (10 , 0,3)

≡  b (10 , k , 0, 3) con  k ≡ éxitos :

P( X = k) = ⎛ n ⎞ . pk . qn −k

⎝  ⎠[pic 4][pic 5]

Llamando X = "número de personas que están viendo el programa"

a)  P [X • 8] = P [ X = 9] + P [ X = 10] = ⎡ ⎛10 ⎞

⎤

0, 39 . 0,7

⎡ ⎛10 ⎞

+

⎤

0, 310 . 0, 70      =

⎢ ⎜     ⎟[pic 6]

⎣ ⎝     ⎠

⎥     ⎢ ⎜     ⎟                     ⎥

⎦     ⎣ ⎝     ⎠                     ⎦[pic 7]

= 10 . 0,39 . 0,7 + 0, 310  = 0,000144

⎧ ⎛10 ⎞          10!        10 . 9!    10

=                    =             =      = 10

⎛ n ⎞           n! _        

=

⎪ ⎜     ⎟

⎪ ⎝     ⎠[pic 8]

⇒    ⎪

9! (10 − 1)!     9! . 1!      1

⎜ k ⎟

k! (n − k)!           ⎨

⎝  ⎠                                 ⎪[pic 9]

⎪

⎛10 ⎞            10!           1     1

=                         =       =    = 1

⎜     ⎟[pic 10]

⎩ ⎝     ⎠

10! (10 − 10)!     0!    1

b)   P [X • 0] = 1− P [X = 0] = 1 −

⎛10 ⎞

⎜     ⎟[pic 11]

⎝     ⎠[pic 12]

0, 30 . 0,710

= 1− 0, 710  = 0,972[pic 13]

c)   Media:

μ = n . p = 10 . 0, 3 = 3

Desviación típica:  σ = [pic 14]

n. p. q =

10. 0, 3. 0, 7 =

2,1 = 1, 45

Ejercicio 2.-  El jefe de recursos humanos de una empresa realiza un test de diez ítems a los aspirantes a un puesto, teniendo en cada ítems cuatro posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. Suponiendo que los aspirantes teniendo la misma probabilidad de responder. Se pide hallar las probabilidades para el aspirante:

a)  Conteste todos los ítems mal

b)  Conteste al menos cuatro ítems bien

c)  Conteste entre cuatro y seis ítems bien d)  Conteste todos los ítems bien

e)  Conteste menos de tres ítems bien

Solución:

Sea X = "contestar ítems bien en el test", la variable sigue una distribución binomial

n = 10 , p =  1 = 0, 25 , b(10 , 0, 25) , P( X = k) = ⎛10 ⎞ .0,25 k . 0, 7510 −k

k = 0,1,,10

⎜     ⎟[pic 15]

4                                                       ⎝     ⎠

a)  P( X = 0) = ⎛10 ⎞ . 0, 250 . 0, 7510  = 0, 25 0 . 0, 7510  = 0, 0563[pic 16][pic 17]

⎝     ⎠

b)  P( X ≥ 4) = 1− P( X • 4) = 1− (P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3)) =

...