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5.1 Introducción a las transformaciones lineales.

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es:

Definición 5.1: Transformación lineal. Sean V y Wespacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ∈ V un vector único Tv∈W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar∝.

T(u+v)=Tu+Tv

Y

T(∝v)=∝Tv

Ejemplo 1: Considere la transformación

T:R^2→R^2

T(x,y)=(x,-y)

Tómese v_1=(x,y),v_(2=) (x^,,y^,) y verifíquese que T(v_1+v_2 )=T(v_1 )+T(v_2 )

T(v_1+v_2 )=T((x,y)+(x^,,y^,))=T(x+x^,,y+y^,)

=(x+x^,,-(y+y^,))=(x+x^,,-y-y^,)=(x,-y)+(x^,,-y^,)

=T(v_1 )+T(v_2 )

Similarmente, si c ∈R

T(cv)=T(c(x,y))=T(cx,cy)=(cx,-cy)=(cx,c(-y))

=c(x,-y)=cT(v)

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