Evidencia de aprendizaje 1. Funciones

Evidencia de aprendizaje 1. Funciones

1. Investiga tres ejemplos de la vida cotidiana donde se apliquen las funciones.

*Ejemplo 1

Una agencia de renta de autos cobra $0.25 por milla, si el total de millas recorridas no excede de 100. Si el total de millas recorridas excede a 100, la agencia carga $0.25 por milla para las primeras 100 millas, mas $0.15 por cada milla adicional recorrida, si x representa el número de millas recorrido por un vehículo rentado, expresarle cargo por millas recorridas C(X) como una función de x. Encontrar también C (50) y C (150), haciendo la gráfica correspondiente.

Solución:

Si 0≤ x ≤ 100, entonces

C(x)=0.25x

Si x>100, entonces

Cargo para las cargo para el

Primeras 100 millas millaje adicional

C(x) = 0.25 (100) + 0.15(x-100)

= 25 + 0.15x - 15

= 10 + 0.15x

Quedando determinado con los cálculos anteriores que C es una función definida en partes

Recordemos que las funciones definidas por secciones se evalúan determinando primero cual regla se va a aplicar (una de las dos ecuaciones), y después usando la regla apropiada para hallar el valor de la función. Por ejemplo para evaluar c (50), se usa la primera regla y se obtiene:

C (50) = 0.25 (50) = $12.50 x= 50 satisface 0≤ x ≤ 100

Para evaluar C (150), se usa la segunda regla y se obtiene

C (150) = 10 + 0.15 (150) = $32.50 x= 150 satisface x>100

Para graficar C, se grafica cada regla en la definición para los valores indicados de x:

*Ejemplo 2

Crecimiento demográfico

México tiene una población aproximada de 100 millones de personas y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, ¿cuál será la población:

(A) En 15 años a partir de ahora? (B) en 30 años a partir de ahora?

Para poder resolver este problema investigaremos el concepto de crecimiento de poblaciones, de personas, animales, insectos y bacterias. Las poblaciones tienden a crecer exponencialmente y a tasas diferentes. Una manera conveniente y fácil de entender la medida de la tasa de crecimiento es el tiempo de duplicación (este es el tiempo que le toma a una población duplicarse). En periodos cortos, se usa a menudo el modelo del crecimiento del tiempo de duplicación para modelar al crecimiento demográfico:

P = P˳2^ (t/d)

Donde P = población en el tiempo

P˳=población en el tiempo t=0

D = tiempo de duplicación

Observen que cuando t=d,

P = P˳2^ (d/d) = P˳2

Y la población es el doble de la original como se espera.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA

Se usa el modelo de crecimiento del tiempo de duplicación

P = P˳2^ (t/d)

Sustituyendo P˳ = 100 y d = 21, se obtiene

P = 100(2) ^ (t/21)

Obsérvese la gráfica, nomás considérese por motivos de ejecución de gráfica: t=x

(A) encuéntrese P cuando t = 15 años:

P = 100(2) ^ (15/21)

Ejecutando operaciones tenemos:

1.640670696 x 100 = 164067069 ≈ 164 millones de personas

(B) Encuéntrese P cuando t = 30 años:

P = 100(2) ^ (30/21)

P = 100 X 2.691800332 = 269.1800332 ≈ 269 millones de personas

*Ejemplo 3

MEDICINA

Un adulto normal sentado aspira y exhala cerca de 0.82 litros de aire cada 4 segundos. El volumen de aire en los pulmones t segundos despues de exhalar es aproximadamente

V(t) = 0.45 – 0.37 cos πt/2 con 0 ≤ t ≤ 8

Grafique la funcion en el intervalo indicado y describa lo que muestra la grafica

En la grafica anterior, el lugar geometrico de la funcion coseno, esta caracterizada por la linea azul tenue, mientras que la grafica de la funcion:

V(t) = 0.45 – 0.37 cos πt/2, se presenta en color rojo.

Esta misma nos indica el volumen de aire en los pulmones t segundos despues de exhalar.

Para cuestiones de trabajo sobre la grafica, consideraremos y = V, que representa el volumen en los pulmones y la variable x = t, que representa el intervalo de tiempo a considerar.

Con estos datos, nos damos cuenta que en este espacio de tiempo, la funcion en color rojo denota la cantidad de aire que queda retenida en los pulmones, por lo que el area bajo esa curva, intersectada con la funcion que denota el lugar geometrico del coseno, nos indican por comparacion de volumenes el aire retenido en terminos de superficie debajo de la curva roja. Es necesario aclarar que el volumen a considerar debera ser unicamente el que queda dentro de la interseccion de el lugar geometrico antes especificado y la funcion que nos proporcionan como determinanante.

2. En cada ejemplo, haz lo siguiente:

Clasifica las funciones que se presentan en la vida cotidiana en: algebraicas, trigonométricas y trascendentes, mediante una expresión funcional.

*En el ejemplo 1 tenemos una función definida por sección, ya que está definida por formulas diferentes para las diversas partes de su dominio, a este grupo pertenecen todas las funciones cuyas definiciones implican más de una formula;

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