Examen de Calculo 3 UPN

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A) La afirmación es cierta. El dominio de la función es el conjunto de todos los valores posibles de x e y para los que la expresión bajo la raíz cuadrada es no negativa. Esto significa que x^2 > y, que se puede escribir como Df = {(x,y) ∈ R^2 / x^2 > y}.

B) La afirmación es falsa. La diferencial de la función f(x,y) = e^2x es df = (2e^2x)dx. El coeficiente 2e^2x es la derivada de la función respecto a x, pero no es la diferencial de la función.

C) La afirmación es cierta. La derivada parcial de una función respecto de x da la pendiente de la recta tangente a una curva en el plano xz, donde y se fija en un valor constante k. Por tanto, la derivada parcial respecto de x de una función z = f(x,y) es la pendiente de la recta tangente a la curva z = f(x,k) en el punto (x,k).

D) La afirmación es falsa. La derivada parcial respecto de y de una función z = f(x,y) da la pendiente de la recta tangente a una curva en el plano yz, donde x se fija en un valor constante k. Por tanto, la derivada parcial respecto de y de una función z = f(x,y) es la pendiente de la recta tangente a la curva z = f(k,y) en el punto (k,y).

E) La afirmación es cierta. La función f(x,y) = -(x^2 + y^2) es una función cuadrática de x e y, con coeficiente principal negativo. Por tanto, la función tiene un máximo en el punto (0,0), que es el punto más alto de la gráfica.

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ara determinar la ecuación del plano tangente de la superficie z = e^(x^2 + 2y) en el punto (0,0,1), necesitamos encontrar las derivadas parciales de la función en ese punto y utilizarlas para calcular la ecuación del plano.[pic 4]

Pregunta 3:

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Pregunta 4:

a) La caja está formada por una base rectangular de dimensiones x por y y cuatro lados rectangulares de dimensiones z por y y z por x.

El área de la base es A_base = xy, y el área de cada lado es A_lado = zx o A_lado = zy, según la orientación.

Por tanto, el coste total C de construir la caja es:

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Por tanto, el coste de construir la caja en función de x,y,z es

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b) Si x = 3 pies, entonces la caja en forma de cubo tiene unas dimensiones x=y=z=3 pies.

El área de la base es A_base = x^2 = 9 pies cuadrados, y el área de cada lado es A_side = yz = 9 pies cuadrados.

Por tanto, el coste total C de construir la caja es:

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