FASE 4 - DISCUSIÓN RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LAS APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

FASE 4 - DISCUSIÓN RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LAS APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

CURSO: CÁLCULO INTEGRAL

PROGRAMA INGENIERÍA AMBIENTAL

INTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo colaborativo de CALCULO INTEGRAL aplicaremos los conocimientos adquiridos de la unidad 3, para la aplicación de las integrales también aprenderemos a hacer análisis de gráficas y el estudio de aplicación de integrales en la ciencia.

El cálculo integral es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

DESARROLLO DE EJERCICIOS

Primera parte (punto 1 al 4)

Cada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado.

Ejercicio 1. Encuentre el área de la región comprendida entre la curva [pic 2] y el eje X. El área se expresa en unidades de superficie.

Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

Grafica

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Igualando a cero, factorizando y despejando a X para hallar los limites de la integral

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Utilizando la formula  pero como tenemos área sobre y de bajo del eje x debemos hacer dos integrales y sumarlas donde a=-2, b=0 y c=3[pic 15]

 [pic 16]

 [pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

EJERCICIO 2: Calcular el área de la región limitada por las curvas  e . El área se expresa en unidades de superficie.[pic 26][pic 27]

Despejando x tenemos

[pic 28]

Hallamos la intersección entre ambas

[pic 29]

Buscamos el área por medio de integrales

[pic 30]

Por lo tanto, el área entre las curvas es 18[pic 31]

Ejercicio 3.  Determine la longitud de la curva [pic 32] en el intervalo [pic 33] 

Por definición tenemos que la longitud de arco de una curva viene dada por la expresión:

[pic 34]

Siendo en nuestro caso:

[pic 35]

[pic 36]

Derivando la función obtenemos (Aplicando regla de la cadena):

[pic 37]

Remplazando tenemos:

[pic 38]

Aplicado la identidad tenemos:

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

Ejercicio 4. La curva [pic 42] entre  [pic 43]   y  [pic 44] se hace girar alrededor del eje x.  Hallar el área de superficie del sólido resultante.

Tener en cuenta que: El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido resultante es: [pic 45]   

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Segunda parte (punto 5 al 8)

Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución utilizando diferentes técnicas, momentos y centros de masa.

Ejercicio 5. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por [pic 61], y [pic 62] alrededor  de la recta [pic 63] 

Sugerencia: Utilice el método de los discos para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.  

[pic 64]

[pic 65]

Aplicamos el siguiente método.

Puesto que el eje de rotación es , y la región está acotada entre entonces bajamos toda la gráfica hasta que , coincida con el  es decir restamos 1 a las dos ecuaciones.[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

Así la reducimos a calcular el volumen que es generado al rotar el área sombreada de azul (Ver figura 2) al rededor del eje X

Entonces utilizamos la fórmula correspondiente. Antes hallamos los cortes de la parábola.  Con el eje X.[pic 72]

[pic 73]

Calculamos el volumen de la siguiente manera

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

Ejercicio 6: La región acotada por la gráfica de 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 y por el eje x gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del solido resultante (ver figura)

[pic 79]

[pic 80][pic 81][pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

3[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

Calculamos los límites:

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

Ejercicio 7. Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos, es decir [pic 103] para R una constante. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y centro de masa (Ce). [pic 104] = unidades de masa por unidad de longitud.

Considerar el centro de masa: [pic 105] 

[pic 106]

[pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

...