PROBLEMAS DE APLICACIÓN

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Regularmente los problemas planteados en forma verbal se pueden resolver utilizando un sistema de ecuaciones lineales. Se representan las cantidades desconocidas con incógnitas (x, y, z ) y se genera el sistema de ecuaciones lineales y posteriormente se resuelve mediante algún método de eliminación (simultaneas, Gauss, Gauss Jordan, etc.)

Los ejemplos siguientes ilustran algunos tipos de problemas que pueden resolverse utilizando ecuaciones en dos variables.

EJEMPLO No.1

Hace seis años Beatriz tenia 2/3 de la edad de Guillermo, dentro de 12 años tendrá 5/6 de su edad. Hallar sus edades actuales

Solución .Sea “x” la edad actual de Beatriz en años. Sea “y” la edad actual de Guillermo en años, por lo tanto, hace 6 años la edad de Beatriz era:

x - 6 = 2/3 (y - 6)

Dentro de 12 años la edad de Beatriz será:

6x + 72 = 5y + 60

Reduciendo ambas ecuaciones tendremos:

3x – 2y = 6

6x – 5y = -12

Resolviendo obtenemos que Beatriz tiene18 años y Guillermo tiene 24

EJEMPLO No.2

Un punto de apoyo su sitúa, de tal manera, que dos cargas de 60 y 120 libras se equilibren. Si se agregan 30libras a la carga de 60, la de 120 debe recorrerse a un pie más de distancia del punto de apoyo para mantener el equilibrio. Hallar la distancia original entre ambas cargas

Solución.- Sea x el brazo de palanca en pies de la carga de 60 libras. Sea y el brazo de palanca en pies de la carga de 120 libras, entonces:

60x = 120y (a)

Dividiendo toda la ecuación entre 60 e igualando a cero obtenemos:

x - 2y =0

Además también tenemos que:

90x = 120(y + 1)

Multiplicando y simplificando se obtiene :

3x – 4y = 4 (b)

Con (a) y (b) se obtiene un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, el cual es el siguiente:

x - 2y =0

3x – 4y = 4

Al resolver el sistema se obtiene que x = 4 , y = 2

Por consiguiente, la distancia original entre las cargas es 6 pies.

EJEMPLO No.3

Si la base de un rectángulo disminuye 2 pulgadas y la altura aumenta 2, su área se incrementa en 16 pulgadas cuadradas. Si la base aumenta 5 pulgadas y la altura disminuye 3, el área aumenta 15 pulgadas cuadradas. Encontrar el área del rectángulo original.

Solución.-

Sea “x” la altura del rectángulo en pulgadas .

Sea “y”la base del rectángulo en pulgadas

Primero Segundo

(y – 2)(x + 2) = xy +16 (y +5)(x-3) = xy + 15

xy + 2x + 2y – 4 = xy + 16 xy + 5x – 3y –15 = xy +15

-2x + 2y = 20 (a) 5x – 3y = 30 (b)

Obteniéndose el sistema de ecuaciones:

-2x + 2y = 20 (a)

5x – 3y = 30 (b)

Resolviendo el sistema se obtiene que:

Se obtiene x = 30, y = 40

Por consiguiente, el área del rectángulo original es igual a 30 x 40 = 1200 pulgadas cuadradas.

EJEMPLO 4:

Si se resta 4 al numerador y se suma tres al denominador de una fracción, su valor resulta ser ½. Si se suma 2 tanto al numerador como al denominado el valor que se obtiene es 2/3. Hallar la fracción.

Solución.- Sea la fracción buscada, entonces:

Esta ecuación es equivalente a 2x – y = 11 (a)

Esta ecuación es equivalente a 3x – 2y = -2 (b)

Con la ecuación (a) y ( b) se forma el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas

2x – y = 11

3x – 2y = -2

Resolviendo el sistema obtenemos:

x = 24 , y = 37

Por lo tanto la fracción es:

EJEMPLO 5:

Catalina invirtió parte de su dinero al 8% y el resto al 12%. El ingreso obtenido por ambas inversiones totalizo $2440. Si hubiera intercambiado sus inversiones el ingreso habría totalizado $2760. Que cantidad de dinero había en cada inversión?.

Solución.- Inversiones originales Inversiones intercambiadas

$ x al 8% $ y al 12% $ x al 12% $ y al 8%

8% + 12% = 2240 12% + 8% = 2760

8x + 12y = 244,000 12x + 8y = 276,000

2x + 3y = 61,000 3x + 2y = 69,000

Resolviendo el sistema 2x + 3y = 61,000 y 3x + 2y = 69,000, obtenemos

2x + 3y = 61,000 -4x - 6y = -122,000

3x + 2y = 69,000 9x + 6y = 207,000

Sumando resulta 5x = 85,000 donde x =17,000 y sustituyendo x por 17,000, se obtiene y = 9,000

Las inversiones son $17,000 y $9,000

EJEMPLO 6

Si una solución de glicerina al 40% se agrega a otra al 60%, la mezcla resulta al 54%. Si hubiera 10 partes mas de la solución al 60%, la mezcla será al 55% de glicerina. Cuantas partes de cada solución se tienen?

Solución.-

Primero: sean x partes y partes (x + y) partes mezcla resultante

40% 60% 54%

40% + 60% = 54%(x +y)

40x + 60y = 54 (x + y)

-14x + 6y = 0

7x – 3y = 0

Segundo: Sean x partes y partes (x + y + 10) partes

40% 60% 55%

40% + 60%(y + 10) = 55%(x + y + 10)

40x + 60(y +10) = 55 (x + y +10)

40x + 60y + 600 = 55x + 55y +550

-15x + 5y= -50

3x – y = 10

Resolviendo el sistema 7x – 3y = 0 y 3x – y = 10, se obtiene

7x – 3y = 0 7x – 3y = 0

3x – y = 10 -9x + 3y = -30

Sumando resulta -2x = -30

x = 15

Al sustituir

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