FUNCIONES. FUNCIÓN PERIÓDICA

FUNCIONES

PROFESOR:LIC. LUIS ALBERTO CARBAJAL REGINALDO      

FUNCIÓN PAR

Sea f una función tal que: x ∈ Domf y (– x) ∈ Domf; y además: f(– x) = f(x), ∀ x ∈ Domf, entonces decimos que f es una función par.

Gráficamente:

[pic 1]

La característica de esta función, es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y.

FUNCIÓN IMPAR

Sea f una función tal que: x ∈ Domf y (– x) ∈ Domf; además:

 f(– x) = – f(x); ∀ x ∈ Domf, entonces decimos que f es una función impar.

Gráficamente:

[pic 2]

La característica de esta función, es que su gráfica es simétrica con respecto al origen de coordinadas (0 ; 0)

FUNCIÓN PERIÓDICA

Sea f una función, si ∀x ∈ Domf existe un número T ≠ 0 tal que (x + T) ∈ Domf; y además:  f(x + T) = f(x); ∀ x ∈ Domf, entonces decimos que f es una función periódica, donde T es periodo de f

Gráficamente

[pic 3]

Se observa que: f(x) = f(x + T)

Toda función periódica con periodo T tiene su gráfica de tal manera que la misma forma que tiene en un intervalo de longitud T, se repite horizontal y periódicamente en el siguiente intervalo consecutivo (y anterior) de longitud T.

Observamos, además que si T es un periodo de f, entonces 2T, 3T,…, también son periodos de f.

Definición: si T es un periodo de f, el periodo positivo mínimo se llama periodo mínimo de f

FUNCIÓN INYECTIVA

Sea la función:

f = {(1 ; u) , (2 ; d) , (3 ; t) , (4 ; c)}

tenemos:

[pic 4]

Observamos que cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio, donde el rango puede o no coincidir con el conjunto de llegada a este tipo de función se le denomina inyectiva:

Formalmente:

Una función f es inyectiva o univalente, si a dos elementos diferentes en el dominio le corresponden dos elementos diferentes en el rango. Es decir: si   x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) donde: x1 y x2 son elementos del dominio de f, y f(x1) y f(x2) son elementos del rango de f

Equivalentemente: una función f es inyectiva o univalente si y solo si, para cada x1; x2 ∈ Domf:

[pic 5]

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Gráficamente, una función inyectiva o univalente está caracterizada por la propiedad de que cada recta horizontal corta a su gráfica en un solo punto

 [pic 6]

Función suryectiva:

Sea f: X → Y una función, donde X = {1, 2, 3},        Y = {a , b} construyendo el diagrama sagital para :

 f = {(1 ; a) , (2 ; a) , (3 ; b)} tenemos:

[pic 7]

Domf = {1, 2, 3} y Ranf = {a , b}

Observamos que el rango coincide con el conjunto de llegada, donde cada elemento del rango puede ser imagen de uno o más elementos del dominio, luego definimos:

Una función f: X → Y es suryectiva (sobreyectiva o epiyectiva) si todo elemento del conjunto de llegada es imagen de, por lo menos, un elemento del dominio de f.

Es decir:

[pic 8]

Existe sobreyección, si todos los elementos de Y tienen su preimagen en el conjunto de partida X, con la alternativa de que un elemento de Y puede ser imagen de varios elementos de X.

Interpretación gráfica

[pic 9]

Función biyectiva

Sea f: X → Y una función

Donde: X = {Δ , • } , Y = {3, 4} definida por (x , y) ∈ f si y solo si “a cada figura le corresponde el número de sus lados”.

Tenemos: f = {(Δ ; 3) , (• ; 4)}

[pic 10]

Observamos que el rango coincide con el conjunto de llegada y cada elemento de éste es imagen de un solo elemento del dominio, es decir, es sobreyectiva e inyectiva a la vez

Este tipo de función se denomina biyectiva.

Si f es una biyeccion de X en Y, cada elemento y ∈ Y es la imagen de uno y solo un elemento x ∈ X

Interpretación gráfica

[pic 11]

FUNCIONES MONÓTONAS

*Función creciente:

Sea f una función tal que ∀ x1; x2 ∈ Domf:              x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), entonces decimos que f es una función creciente

*Función no Decreciente:

Sea f una función tal que ∀ x1; x2 ∈ Domf:              x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2), entonces decimos que f es una función no decreciente

*Función Decreciente:

Sea f una función tal que ∀ x1; x2 ∈ Domf:              x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2), entonces decimos que f es una función decreciente

*Función no Creciente:

Sea f una función tal que ∀ x1; x2 ∈ Domf:              x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2), entonces decimos que f es una función no creciente

*Función Monótona:  

Una función es monótona, si es cualquiera de las anteriores.

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